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MONOGRAFIAS MATEMÁTICAS
TEORÍA DE GRUPOS

GRUPOS ABELIANOS - GRUPOS FINITOS

 

GENERACION DE GRUPOS.SISTEMAS DE GENERADORES DE GRUPOS


Sea un grupo abeliano cualquiera (G, +) y sea \(A \subset G\) ; se llama subgrupo de G engendra do por A al menor subgrupo de G que contiene a A.

Si \(A \subset G\) , la familia de subgrupos de G que contienen a A es no vacia puesto que, al menos, existe G que contiene a A.

El menor subgrupo de G engendrado por A se denota en la forma:
    \([A] = \bigcap_{i \in I} G_i \qquad , \textrm{ donde } G_i \supset [A]\)
El conjunto A será un sistema de generadores de [A] y se dice entonces que A es una familia de generadores de [A] .En el caso de que se tenga j A| = G entonces A es un sistema de generadores para el grupo.

Definición : Sistema minimal .- Se dice que un sistema de generadores A, de un grupo G es irreductible ó minimal si ninguna, parte propia de A genera G.

Definición : Grupo de tipo finito.- Se dice que un grupo G es de tipo finito si está generado por una de sus partes finitas.
Si G es un grupo abeliano podemos construir una aplicación de ZxG en G en la forma:
    \((n,g) \; \rightarrow \; n · g = g + · \overset{\left(n\right. } · + g \; ; \; n \in Z^+ \)

    \( (0,g) \; \rightarrow \; 0 · g = 0 \)

    \((-n,g) = - (n,g) )\; \rightarrow \; - n · g =- (g + · \overset{\left(n\right. } · + g) \; ; \quad - n \in Z^+ \)
Teorema.- El subgrupo [A] engendrado por una parte A no vacía de un grupo abeliano G es de la forma:
    \( [A] = \{n_ia_i / n_i \in Z \; , \; a_i \in A \; ; \; I \textrm{ finito } \}\)
Demostración.-

La familia A está contenida en [A] puesto que se tiene:
    \( 1 · a_i = a_i \in [A] \; , \; \forall a_i \in A \)
Probamos ahora que [A] es subgrupo, es decir:
    \( \forall \; a, b \in [A] \Rightarrow a - b \in [A]\)
podemos poner entonces:
    \( \displaystyle \left. \begin{array}{ll} a \in [A] \Rightarrow a = n_1x_1 + ··· + n_px_p \\ b \in [A] \Rightarrow b = n'_1x'_1 + ··· + n'_sx'_s \end{array} \right \} \; a-b = \sum_{i \in I} n_ix_i - \sum_{j \in I} n'_jx'_j \in [A]
    \)
puesto que ambos sumatorios son finitos.

Se tiene además que [A] es el menor subgrupo de G que contiene a A. Sea S un subgrupo de \(G \neq [A] \) engendrado por A, entonces podemos poner:
    \(x \in [A] \; ; \; x = \sum n_ia_i \in S \Rightarrow [A] \subset S \)
y por lo tanto [A] es el menor subgrupo de G generado por A.
Monografía en trece capítulos, primer capítulo: Grupos Abelianos. Capítulo siguiente Grupos finitos
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tema escrito por: José Antonio Hervás