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MONOGRAFIAS MATEMÁTICAS
TEORÍA DE GRUPOS

GRUPOS ABELIANOS - GRUPOS FINITOS

 

CONDICIÓN DE SUMA DIRECTA PARA UN NÚMERO FINITO DE GRUPOS

Si G es un grupo abeliano, cualquier suma de n de sus subgrupos: \( G = H_1 + H_2 + ··· + H_n \) , se dice que es suma directa si verifica:
    \( \forall x \in G \; , \; x = h_1 + h_2 + · + h_n \)
con \(h_i \in H_i \) y donde \( (1 \leq i \leq n) \quad\) son únicos.

Es decir, que G es suma directa si y solo si todo elemento de él se puede poner de manera única como suma de un elemento de cada \(H_i \) .

Propiedad.- La condición necesaria, y suficiente para, que un grupo G sea suma directa de n subgrupos \(H_i \quad (1 \leq i \leq n) \quad\) es que se verifique:
    \( H_i \cap (H_1 + ··· + H_{i-1} + H_{i+1} + ··· + H_n) = \{0\} \)
Condición necesaria.- Sea
    \( x \in (H_1 + · \overset{i} { \overset{\vee} {· } } · + H_n) \)
donde \( \overset{i} { \vee } \) significa que falta el elemento \( x_i \). Según eso, x ha de tener la forma:
    \( \left. \begin{array}{ll} x = 0+ ··· + x + ··· + 0\\ x = x_1 + ··· + x_{i-1} + 0 + x_{i+1} + ··· + x_n \end{array} \right \} \quad x = 0 \)
Condición suficiente.- Supongamos que x admite dos descomposiciones:
    \( \left. \begin{array}{ll} x = x_1 + ··· + x_n\\ x = y_1 + ··· + y_n \end{array} \right \} \quad \Rightarrow 0 = (x_1 - y_1) + cdots + (x_n - y_n) \quad (A) \)
Por otro lado sabemos por la condición necesaria que se tiene:
    \((H_1 + ··· + H_i) \cap (H_{i+1}) = \{0\} \)
por lo tanto, tomando \(i = n-1 \) se verificará, :
    \((H_1 + ··· + H_{n-1}) \cap (H_n) = \{0\} \qquad (B)\)
pero de (A) podemos hacer:
    \(- (x_n - y_n) = (x_1 - y_1) + ··· + (x_{n-1} - y_{n-1})\)
pero estos elementos son los dos iguales y pertenecen ambos a la intersección con lo que se cumplirá:
    \(- (x_n - y_n) = 0 \Rightarrow y_n - x_n = 0 \Rightarrow x_n = y_n\)
que demostrado entonces que la descomposición es única y que la suma es directa.
Monografía en trece capítulos, primer capítulo: Grupos Abelianos. Capítulo siguiente Sistemas generadores de grupos
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tema escrito por: José Antonio Hervás