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MONOGRAFIAS MATEMÁTICAS
TEORÍA DE GRUPOS

GRUPOS ABELIANOS - GRUPOS FINITOS

 

TEORÍA DE GRUPOS - PROYECTOR DE UN GRUPO ABELIANO


Definición : Proyector.- Sea (G, +) un grupo abeliano; se dice que un endomorfismo \( \pi \) de G es un proyector si cumple:
    \( \pi^2(x) = \pi (x) , \forall c \in G \qquad ; \qquad \textrm{ donde } \pi^2 (x) = \pi [\pi(x)]\)
Proposición.- Si \(\pi \) es un proyector sobre G, entonces se cumple: \( G = \textrm{Im } \pi \oplus \textrm{Ker } \pi \)

Demostración.- Sea \(x \in G \), podemos poner:
    \( \forall x \in G, x = [x - \pi(x)] + \pi(x) \quad (\ast) \)
y, por otro lado:
    \( \pi(x) \in \textrm{Im } \pi \qquad (\ast \ast) \)

    \( \pi[x - \pi(x)] = \pi (x) - \pi^2 (x) = \pi(x) - \pi(x) = 0 \)

    \( \Leftrightarrow x - \pi(x) \in \textrm{Ker } \pi (\ast \ast \ast) \)
por lo tanto, según las ecuaciones (*), (**) y (***) podemos poner: \( G = \textrm{Im } \pi \oplus \textrm{Ker } \pi \qquad (a) \)

Sea ahora:
    \( \forall x \in \textrm{Im } \pi \cap \textrm{Ker } \pi\)
Podernos poner:
    \(\begin{array}{l} \left. \begin{array}{ll} x \in \textrm{Ker } \pi \Rightarrow \pi(x) = 0 \Rightarrow \pi^2 (y) = \pi (x) = 0 \\ x \in \textrm{Im } \pi \Rightarrow \exists y \in G / \pi(y) = x \Rightarrow \pi^2 (y) = \pi (y) = x \end{array} \right \} \quad x = 0 \Rightarrow \\ \\ \Rightarrow \textrm{Im } \pi \cap \textrm{Ker } \pi = \{0\} \end{array} \)
y considerando el resultado final y (a) podemos poner finalmente:
    \( G = \textrm{Im } \pi \oplus \textrm{Ker } \pi \)
Propiedad.- Si \(G = H \oplus K \), entonces existe un proyector \( \pi \) cuyo núcleo es K y cuya imagen es H.

Demostración.- Sea \(G = H \oplus K \), podemos poner:
    \( \forall x \in G \qquad \begin{array}{ll} \exists !h \in H \\ \\ \exists !k \in K \end{array} \qquad / x = h+k \)
Definimos la correspondencia \( \pi \) en la forma:
    \( \pi : G \rightarrow G / \pi(x) = k\)
Esta correspondencia, cumple las siguientes propiedades:
    1º.- Es aplicación

      \( \forall x \in G \; \exists ! \; \pi(x) = k \quad , \quad \textrm{ por ser } G = H \oplus K \)
    2º-Es Homomorfismo:

      \(\begin{array}{l} \pi(x+y) = \pi[(h+k) + (h' + k')] = \\ \\ = \pi [(h+h') + (k+k')] = k + k' = \pi(x) + \pi(y) \end{array} \)

    3º.- Podemos poner:

      \(\pi^2 (x) = \pi [\pi(x)] = \pi(k) = \pi(0+k) = k = \pi(x)\)
En consecuencia, \( \pi \) es un proyector y verifica:
    \(\textrm{Ker } \pi = \{x \in G / \pi(x) = 0 \} = \{x \in G / x = x + 0 \; , \; x \in K \; , \; 0 \in H \} = K \)

    \( \textrm{Im } \pi = \{x \in G / \exists y \in G \; , \; \pi(y) = x\} = \{x \in G / x \in H\} = H\)
Monografía en trece capítulos, primer capítulo: Grupos Abelianos. Capítulo siguiente Suma directa de grupos
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tema escrito por: José Antonio Hervás