PROBLEMAS RESUELTOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES
ejercicios sobre ecuaciones diferenciales en derivadas parciales

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Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales

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Ejercicios de ecuaciones en derivadas parciales - Respuesta del ejemplo 46

Siguiendo la sugerencia dada, resolvemos el problema por el método de operadores:
    \( (D_x^3 - 3 D_x^2 D_y + 4 D_y^3)z = e^{y+2x}\)
Factorizando el polinomio operador resulta:
    \( (D_x^3 - 3 D_x^2 D_y + 4 D_y^3)z = (D_x + D_y)(D_x - 2 D_y)^2 z = e^{y+2x}\)
Y de acuerdo con lo visto en teoría, la solución de la ecuación homogénea será:
    \( z_h = \phi_1(y-x) + \phi_2(y+2x) +x \phi_3(y+2x)\)
Donde \( \phi_1, \, \phi_2, \, \phi_3 \) son funciones arbitrarias de x e y.

Al tener un factor doble, hemos puesto \( x \phi_3(y+2x)\), pero también podríamos haber puesto \( y \phi_3(y+2x)\).

Para obtener la solución general de la ecuación completa, probamos una particular de la forma:
    \( z_p = K e^{2x+y}\)
por lo que se ha de cumplir \( \phi (\alpha, \beta) \neq 0 \), es decir:
    \(\begin{array}{l} \phi (\alpha, \beta) = (\alpha^3 - 3 \alpha^2 \beta + 4 \beta^3) \; \rightarrow \\  \\ \rightarrow \; \phi(2, 1) 2^3 - 3 \times 2^2 \times 1 + 4 \times 1^3 = 0 \end{array}\)
Puesto que esta solución no es válida, tanteamos soluciones particulares de la forma:
    \( z_p = Kx e^{2x+y} \; \; ; \; \; z_p = Ky e^{2x+y}\)
Que han de dar valores distintos de 0 y para las que se cumple:
    \( \left. \begin{array}{l} \phi'_{\alpha} (\alpha, \beta) \neq 0 \; \rightarrow \; (3 \alpha^2 - 6 \alpha \beta)(2, 1) = 0 \\ \\ \phi'_{\beta} (\alpha, \beta) \neq 0 \; \rightarrow \; (-3 \alpha^2 + 12 \beta)(2, 1) = 0 \end{array} \right \} \; \) y que, por lo tanto, son soluciones no válidas
Lo intentamos, entonces, con soluciones particulares de la forma:
    \( z_p = Kx^2 e^{2x+y} \; \; ; \; \; z_p = Ky^2 e^{2x+y}\)
Que han de dar valores distintos de 0 y para las que se cumple:
    \( \left. \begin{array}{l} \phi^"_{\alpha} (\alpha, \beta) \neq 0 \; \rightarrow \; (6 \alpha - 6 \beta)(2, 1) = 6 \\ \\ \phi^"_{\beta} (\alpha, \beta) \neq 0 \; \rightarrow \; (12 \beta)(2, 1) = 12 \end{array} \right \} \; \) y que si son soluciones válidas
Podemos tomar entonces para K cualquiera de los valores dados por
    \( \displaystyle K = \frac{1}{\phi^"_{\alpha} (\alpha, \beta)} = \frac{1}{6} \; \; ; \; \; K = \frac{1}{\phi^"_{\beta} (\alpha, \beta)} = \frac{1}{12}\)
Y será válida cualquiera de las soluciones:
    \(\displaystyle z = \phi_1(x-y) + \phi_2(y+2x) + x \phi_3(y+2x) + \frac{1}{6} x^2 e^{2x+y}\)


    \(\displaystyle z = \phi_1(x-y) + \phi_2(y+2x) + y \phi_3(y+2x) + \frac{1}{12} y^2 e^{2x+y}\)
EJERCICIOS-ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES


tema escrito por: José Antonio Hervás