PROBLEMAS RESUELTOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES
ejercicios sobre ecuaciones diferenciales en derivadas parciales

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Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales

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Ejercicios de ecuaciones en derivadas parciales - Respuesta del ejemplo 45

Podemos poner la expresión dada en el enunciado en la forma:
    \( (p+x^2) - (q+y^2) = 0\)
Con lo que podemos plantear el sistema de igualdades:
    \(\displaystyle \frac{dx}{1} = \frac{dy}{-1} = - \frac{dp}{2x} = \frac{dq}{2y} \)
Tomando la primera y la tercera, resulta:
    \( \displaystyle dx = - \frac{dp}{2x} \; \rightarrow \; 2x dx = - dp \; \rightarrow \; x^2 + C_1 = -p \; \rightarrow \; p = C_1 - x^2\)
Por la estructura de la ecuación resulta fácil ver que podemos poner:
    \( q = C_1 - y^2\)
Por lo tanto, tendremos:
    \( dz = p dx + q dy \; \rightarrow \; dz = (C_1 - x^2)dx + (C_1 - y^2)dy\)
Y como la ecuación es de variables separadas:
    \( \displaystyle z = C_1x - \frac{x^3}{3} + C_1 y - \frac{y^3}{3} + C_2 \)
EJERCICIOS-ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES


tema escrito por: José Antonio Hervás