PROBLEMAS RESUELTOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES
ejercicios sobre ecuaciones diferenciales en derivadas parciales

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Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales

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Ejercicios de ecuaciones en derivadas parciales - Respuesta del ejemplo 44

Planteamos el sistema general visto en otros casos para este tipo de ejercicios:
    \(\displaystyle \frac{dx}{q} = \frac{dy}{p} = \frac{dz}{2p\,q} = - \frac{dp}{p} = - \frac{dq}{q}\)
Tomando las dos últimas:
    \(\displaystyle \frac{dp}{p} = \frac{dq}{q} \; \rightarrow \; \ln q = \ln p + \ln C_1 \; \rightarrow \; q = C_1 p \)
Y de la ecuación diferencial:
    \( \displaystyle z = 1 + p·q = 1 + C_1 p^2 \; \rightarrow \; p = \sqrt{\frac{z-1}{C_1}} \; \rightarrow \; q = \sqrt{ (z-1)C_1} \)
Por lo que tendremos:
    \(\displaystyle \begin{array}{l} dz = \sqrt{\frac{z-1}{C_1}} dx + \sqrt{ (z-1)C_1} dy \; \rightarrow \\  \\ \rightarrow \; \frac{dz}{\sqrt{ (z-1)} } = \frac{dx}{\sqrt{C_1}} + \sqrt{C_1} dy \end{array} \)
E integrando miembro a miembro:
    \( \displaystyle 2 \sqrt{ (z-1)} = \frac{x}{\sqrt{C_1}} + \sqrt{C_1} y + C_2 \)
Con lo cual, considerando la parametrización:
    \( \displaystyle x = t \; ; \; y = 2 \; ; \; z = 2t + 1 \; \rightarrow \; 2 \sqrt{ 2t} = \frac{t}{\sqrt{C_1}} +2 \sqrt{C_1} + C_2 \)
Derivando respecto del parámetro t para obtener su valor en función de C1:
    \( \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2t}} = \frac{1}{\sqrt{C_1}} \; ; \; t = 2C_1 \)
y volviendo a la expresión:
    \( \displaystyle \rightarrow \; 2 \sqrt{4C_1} = 2 \sqrt{C_1} + 2 \sqrt{C_1} + C_2 \; \rightarrow \; C_2 = 0 = \psi (C_1) \)
Sustituyendo este resultado en la solución general:
    \( \displaystyle 2 \sqrt{ (z-1)} = \frac{x}{\sqrt{C_1}} + \sqrt{C_1} y \; \rightarrow \; C_1(z-1) = \frac{1}{4}(x + C_1y)^2 \)
Con lo que, finalmente, tendremosl:
    \( \displaystyle \rightarrow \; z = \frac{1}{4C_1}(x + C_1y)^2 + 1 \)
Para obtener el valor de C1 derivamos z respecto de C1, con lo que resulta después de simplificar:
    \( \displaystyle 8 C_1 y - 4(x + C_1 y) = 0 \; \rightarrow \; C_1 = \frac{x}{y}\)
Y finalmente:
    \( \displaystyle 2 \sqrt{z-1} = x \sqrt{\frac{y}{x}} + y \sqrt{\frac{x}{y}} = \sqrt{yx} + \sqrt{x y} \; \rightarrow \; z = x y + 1\)
EJERCICIOS-ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES


tema escrito por: José Antonio Hervás