PROBLEMAS RESUELTOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES
ejercicios sobre ecuaciones diferenciales en derivadas parciales

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Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales

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Ejercicios de ecuaciones en derivadas parciales - Respuesta del ejemplo 43

Tenemos una ecuación de tipo Claireaut, por lo que la solución general, según hemos visto en el ejemplo anterior, será de la forma:
    \(\displaystyle z = C_1 x + C_2 y + \frac{1}{4} C_1C_2\)
Para que la solución contenga a la curva dada, consideramos la parametrización \( x = t \; ; \; y = 0 \; ; \; z = t^2 \), con lo que resulta:
    \( \left. \begin{array}{l} \displaystyle t^2 = C_1 t + \frac{1}{4} C_1 C_2 \\ \\ 2t = C_1 \end{array} \right \} \; \; \frac{1}{4} C_1^2 = \frac{1}{2} C_1^2 + \frac{1}{4} C_1C_2 \; \rightarrow \; C_2 = - C_1 \)
Pero, identificando este resultado con la ecuación de partida, tenemos:
    \( z = C_1 x + C_2 y + 2 \sqrt{pq} = C_1 x + C_2 y + 2 \sqrt{C_1C_2}\)
Sustituyendo ahora en la solución general:
    \(\displaystyle z = C_1 x + C_2 y + \frac{1}{4} C_1C_2 = C_1 x - C_1 y - \frac{1}{4} C_1^2 \)
Y derivando respecto al parámetro C1:
    \( \displaystyle \frac{\partial z}{\partial C_1} = 0 = x-y-\frac{1}{2}C_1 \; \rightarrow \; C_1 = 2(x-y) \)
Con lo cual:
    \(\begin{array}{l}
    z = 2(x-y) x - 2(x-y) y - (x-y)^2 = \\
     \\
    = 2(x-y)(x-y) - (x-y)^2 = (x-y)^2
    \end{array}\)
EJERCICIOS-ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES


tema escrito por: José Antonio Hervás