PROBLEMAS RESUELTOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES
ejercicios sobre ecuaciones diferenciales en derivadas parciales

Ver enunciado del ejercicio en:

Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales

Estás en : Matemáticas y Poesía > Problemas y ejercicios resueltos

 
Ejercicios de ecuaciones en derivadas parciales - Respuesta del ejemplo 42

Planteamos un sistema similar al de ejemplos anteriores:
    \(\displaystyle \begin{array}{l} \frac{dx}{x+\sqrt{q/p}} = \frac{dy}{y+\sqrt{p/q}} = \frac{dz}{px + qy + 2 \sqrt{p\,q}} = \\  \\ = - \frac{dp}{p+(-1)p} = - \frac{dq}{q+(-1)q} \end{array} \)
Con las dos últimas tenemos directamente:
    \( \begin{array}{l} p = C_1 \; ; \; q = C_2 \; \rightarrow dz = pdx + q dy = C_1dx + C_2dy \; \rightarrow \\  \\ \rightarrow z = C_1x + C_2 y + \phi(p,q) \end{array}\)
Pero, identificando este resultado con la ecuación de partida, tenemos:
    \( z = C_1 x + C_2 y + 2 \sqrt{pq} = C_1 x + C_2 y + 2 \sqrt{C_1C_2}\)
En su forma general la ecuación estudiada se expresa en la forma:
    \( z = C_1 x + C_2 y + f(pq)\)
Y recibe el nombre de ecuación diferencial de Claireaut generalizada, en base a la ecuación de Claireaut para las ecuaciones diferenciales ordinarias:
    \( y = x y\,' + \phi(y\,') \)
Puede verse que la solución general de la ecuación de Claireaut ordinaria viene dada por:
    \(z = C_1 x + C_2 y + f(C_1 C_2)\)
EJERCICIOS-ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES


tema escrito por: José Antonio Hervás