Ejercicios de ecuaciones en derivadas parciales

Tenemos la ecuación diferencial en derivadas parciales escrita a continuación:

\(p· x + q · y + 2 \sqrt{p · q} = z\)

Hallar su solución

- Respuesta 42

Planteamos un sistema similar al de ejemplos anteriores:

\(\displaystyle \begin{array}{l} \frac{dx}{x+\sqrt{q/p}} = \frac{dy}{y+\sqrt{p/q}} = \frac{dz}{px + qy + 2 \sqrt{p\,q}} = \\  \\ = - \frac{dp}{p+(-1)p} = - \frac{dq}{q+(-1)q} \end{array} \)

Con las dos últimas tenemos directamente:

\( \begin{array}{l} p = C_1 \; ; \; q = C_2 \; \rightarrow dz = pdx + q dy = C_1dx + C_2dy \; \rightarrow \\  \\ \rightarrow z = C_1x + C_2 y + \phi(p,q) \end{array}\)

Pero, identificando este resultado con la ecuación de partida, tenemos:

\( z = C_1 x + C_2 y + 2 \sqrt{p·q} = C_1 x + C_2 y + 2 \sqrt{C_1·C_2}\)

En su forma general la ecuación estudiada se expresa en la forma:

\( z = C_1 x + C_2 y + f(p·q)\)

Y recibe el nombre de ecuación diferencial de Claireaut generalizada, en base a la ecuación de Claireaut para las ecuaciones diferenciales ordinarias:

\( y = x · y\,' + \phi(y\,') \)

Puede verse que la solución general de la ecuación de Claireaut ordinaria viene dada por:

\(z = C_1· x + C_2· y + f(C_1· C_2)\)