Ejercicios
de ecuaciones en derivadas parciales - Respuesta del ejemplo 42
Planteamos un sistema similar al de ejemplos anteriores:
\(\displaystyle \begin{array}{l}
\frac{dx}{x+\sqrt{q/p}} = \frac{dy}{y+\sqrt{p/q}} = \frac{dz}{px + qy + 2 \sqrt{p\,q}} = \\
\\
= - \frac{dp}{p+(-1)p} = - \frac{dq}{q+(-1)q}
\end{array} \)
Con las dos últimas tenemos directamente:
\( \begin{array}{l}
p = C_1 \; ; \; q = C_2 \; \rightarrow dz = pdx + q dy = C_1dx + C_2dy \; \rightarrow \\
\\
\rightarrow z = C_1x + C_2 y + \phi(p,q)
\end{array}\)
Pero, identificando este resultado con la ecuación de partida,
tenemos:
\( z = C_1 x + C_2 y + 2 \sqrt{p·q} = C_1 x + C_2 y + 2 \sqrt{C_1·C_2}\)
En su forma general la ecuación estudiada se expresa en la
forma:
\( z = C_1 x + C_2 y + f(p·q)\)
Y recibe el nombre de ecuación diferencial de Claireaut generalizada,
en base a la ecuación de Claireaut para las ecuaciones diferenciales
ordinarias:
\( y = x · y\,' + \phi(y\,') \)
Puede verse que la solución general de la ecuación
de Claireaut ordinaria viene dada por:
\(z = C_1· x + C_2· y + f(C_1· C_2)\)