PROBLEMAS RESUELTOS
DE AUTOMÁTICA
regulación y control
diagramas de flujo
funciones de transferencia

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Ejercicios de automática

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Ejercicios resueltos

 
Determinar la respuesta del sistema gobernado por la ecuación:
    \( y(k) = (1- \alpha)·u(k) +\alpha ·y(k - 1)\)
A la señal:
    Escalón unidad
    Impulso unidad
    A la función u(k) dada por:
      \( u(k) = \left\{ \begin{array}{l} 0\qquad k = -1, -2, -3, \cdots \\ \\ 5\qquad para \; k = 0 \\ \\ 2\qquad k = 1, 2, 3, \cdots \\ \end{array} \right. \)

    Ejercicios de automática. Respuesta 27

Tomando la transformada en z de los dos miembros de la ecuación, resulta:
    \( Y(z) = (1-\alpha)U(z) + \alpha[z^{-1}Y(z) + z^{-0}y(0)] \)
Para obtener la función de transferencia hemos de tomar condiciones iniciales nulas, por lo que resultará:
    \( \displaystyle Y(z)(1-\alpha·z^{-1})= (1-\alpha)U(z) \Rightarrow \frac{Y(z)}{U(z)} = \frac{(1-\alpha)·z}{z-\alpha} \)
De ese modo, la respuesta del sistema a la señal escalón unidad vendrá dada por:
    \( \displaystyle \begin{array}{l} Z^{-1}\left\{\frac{(1-\alpha)·z}{z-\alpha}·\frac{z}{z-1}\right\} = \\  \\ = Z^{-1}\left\{-\alpha·\frac{z}{z-\alpha}- \frac{z}{z-1}\right\} = -\alpha^{k+1}-1 \end{array}\)
Donde el desarrollo en fracciones simples lo hemos hecho para la función G(z)/z, siendo G(z) la función de transferencia.

De forma análoga, la respuesta del sistema a la señal impulso unidad será:
    \( \displaystyle Z^{-1}\left\{\frac{(1-\alpha)z}{z-\alpha}·1\right\} = (1-\alpha)\alpha^k \)
Para obtener la transformada en z de la última señal, tenemos:
    \( \displaystyle \begin{array}{l} Z[u(k)] = \sum_{k=0}^\infty u(k)z^{-k} = 5 + 2z^{-1} + 2z^{-2}+ 2z^{-3} + \cdots = \\  \\ = 5 + 2\left(\frac{1}{z-1}\right) = \frac{5z-3}{z-1} \end{array} \)
Y a partir de ahí:
    \( \displaystyle \begin{array}{l} Z^{-1}\left\{\frac{(1-\alpha)·z}{z-\alpha}·\frac{(5z-3)}{z-1}\right\} = \\ \\ = Z^{-1}\left\{(5\alpha - 3)\frac{z}{z-\alpha}+ 2·\frac{z}{z-1}\right\} = \\ \\ = -5·\alpha^{k+1} + 3·\alpha^k + 2·(1)^k = (3-5\alpha)·\alpha^k + 2 \end{array} \)
Con lo que el problema ha quedado resuelto.
EJERCICIOS RESUELTOS DE REGULACIÓN Y CONTROL AUTOMÁTICO PARA CIENCIAS E INGENIERÍA
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tema escrito por: José Antonio Hervás