PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS
ejercicios resueltos de métodos numéricos

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Ejercicios resueltos de metodos matematicos

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Problemas resueltos de Métodos Matemáticos

Respuesta del ejercicio 31

Formamos el polinomio característico de la matriz:

    \( |A - \lambda I| = \left| \begin{array}{ccc} -3-\lambda & 1 & -1 \\ -7 & 5-\lambda & -1 \\ -6 & 6 & -2-\lambda \\ \end{array} \right| \)
Y desarrollando el determinante:

    \( |A - \lambda I| =(\lambda+2)^2(\lambda-4) \)
Podemos calcular una base de cada uno de los subespacios propios asociados a cada autovalor.
Para el valor propio -2, tenemos:

    \( \left( \begin{array}{ccc} -1 & 1 & -1 \\ -7 & 7 & -1 \\ -6 & 6 & 0 \\ \end{array} \right)\left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \\ \end{array} \right) = 0 \left\{ \begin{array}{c} -x+y-z = 0 \\ 6x-6y = 0 \\ \end{array} \right\} x = y \; ; \; z = 0 \)
Como el rango de la matriz es 2, el sebespacio V(-2) tiene dimensión 1 y podemos considerar la base formada por el vector (1, 1, 0).
Para el valor propio 4, tenemos:

    \( \left( \begin{array}{ccc} -7 & 1 & -1 \\ -7 & 1 & -1 \\ -6 & 6 & -6 \\ \end{array} \right)\left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \\ \end{array} \right) = 0 \left\{ \begin{array}{c} -7x+y-z = 0 \\ 6x-6y-6z = 0 \\ \end{array} \right\}\left\{ \begin{array}{c} -42x+6y-6z = 0 \\ 6x-6y-6z = 0 \\ \end{array} \right\}\begin{array}{c} z = y \\ x = 0 \end{array}\)
El rango de la matriz resultante es 2; por consiguiente, la dimensión del subespacio vectorial asociado al valor propio 4, es 1 y podemos tomar como base de dicho subespacio el vector (0, 1, 1).
EJERCICIOS RESUELTOS DE MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA INGENIEROS Y TÉCNICOS


tema escrito por: José Antonio Hervás