PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS
ejercicios resueltos de métodos numéricos

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Problemas resueltos de Métodos Matemáticos

Respuesta del ejercicio 29

El cálculo del polinomio característico de la primera de las matrices nos da:
    \( \begin{array}{l} A = \left( \begin{array}{cc} 1 & -3i \\ i & -1 \\ \end{array} \right) \; ; \\  \\ |A- \lambda I|= \left| \begin{array}{cc} 1-\lambda & -3i \\ i & -1- \lambda \\ \end{array} \right| = -(1-\lambda )(1- \lambda) - 3 = 0 \end{array}\)
Y simplificando:

    \( \lambda^2 = 4 \Rightarrow \lambda_1 = 2 \; ; \; \lambda_2 = -2 \)
Según eso, los vectores propios asociados a la matriz dada serán:

    \( \begin{array}{l} \left( \begin{array}{cc} -1 & -3i \\ 0 & -3 \\ \end{array} \right)\left( \begin{array}{c} x \\ y \\ \end{array} \right) = 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{c} 3x+3iy = 0 \\ ix - 3y = 0 \\ \end{array} \right\}\quad x = -3iy \; ; \; v_1 = (3, i) \\  \\ \left( \begin{array}{cc} 3 & -3i \\ 0 & 1 \\ \end{array} \right)\left( \begin{array}{c} x \\ y \\ \end{array} \right) = 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{c} 3x-3iy = 0 \\ ix + y = 0 \\ \end{array} \right\}\quad y = - ix \; ; \; v_2 = (i, 1) \end{array}\)
Finalmente, para la segunda de las matrices tenemos:

    \( \begin{array}{l} A = \left( \begin{array}{cc} 1 & -2 \\ 1 & -1 \\ \end{array} \right)\; ; \\  \\ |A- \lambda I| = \left| \begin{array}{cc} 1-\lambda & -2 \\ 1 & -1-\lambda \\ \end{array} \right| = -(1-\lambda)(1+\lambda) + 2 = 0 \end{array}\)
Y simplificando:

    \( \lambda^2 = -1 \Rightarrow \lambda_1 = i \; ; \; \lambda_2 = -i \)
Los valores propios para esta matriz serán:

    \(\begin{array}{l} \left( \begin{array}{cc} 1-i & -2 \\ 1 & -1-i \\ \end{array} \right)\left( \begin{array}{c} x \\ y \\ \end{array} \right) =\\ = 0 \left\{ \begin{array}{l} (1-i)x - 2y = 0 \\ x - (1+i)y = 0 \\ \end{array} \right\} x = (1+i)y \; ; \; v_1 = (1+i , 1) \\  \\ \left( \begin{array}{cc} 1+i & -2 \\ 1 & -1+i \\ \end{array} \right)\left( \begin{array}{c} x \\ y \\ \end{array} \right) = \\ = 0 \left\{ \begin{array}{l} (1+i)x - 2y = 0 \\ x - (1-i)y = 0 \\ \end{array} \right\} x = (1-i)y \; ; \; v_2 = (1-i , 1) \end{array}\)
EJERCICIOS RESUELTOS DE MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA INGENIEROS Y TÉCNICOS


tema escrito por: José Antonio Hervás