PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS
ejercicios resueltos de métodos numéricos

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Problemas resueltos de Métodos Matemáticos

Respuesta del ejercicio 18

El método de integración numérica de Adams – Moulton consiste en la evaluación de dos valores, uno el valor predicho, xp y otro el valor corregido, xc mediante los siguientes algoritmos:

    \( \displaystyle \begin{array}{l} x_{k+1}^p= x_k + \frac{T}{24}\left[55f(x_k)+ 59f(x_{k-1})+ 37f(x_{k-2})- 9f(x_{k-3})\right] \\\\ x_{k+1}^c= x_k + \frac{T}{24}\left[9f(x_{k+1}^p)+ 19f(x_k)- 5f(x_{k-1})- f(x_{k-2})\right] \end{array} \)
Como puede verse, para iniciar la aplicación del algoritmo es necesario conocer cuatro valores iniciales. Estos valores pueden obtenerse por cualquier método viable entre los cuales uno de los más habituales es el método de Runge – Kutta.
Tomando h = 0,1 tenemos:

    \( \displaystyle \begin{array}{l} x_0 = x(0) = 2 \\\\ x_1 = x_0 + \frac{1}{6}(K_1 + 2K_2 + 2K_3 + K_4) \end{array} \)
Con:

    \( \displaystyle \begin{array}{l} K_1 = h·f(x_0,t_0)= 0,1\times (2-0)= 0,2\\\\
    K_2 = hf(x_0 + \frac{1}{2}K_1,t_0+\frac{1}{2}h)=0,1[(2+0,1)- (0+0,05)]= 0,2050 \\\\ K_3 = hf(x_0 + \frac{1}{2}K_2,t_0+\frac{1}{2}h)=0,1[(2+0,1025)- (0+0,05)]= 0,2052\\\\ K_4 = hf(x_0 + K_3,t_0+h)=0,1[(2+0,1052)- (0+0,01)]= 0,2105 \end{array} \)
Y de ese modo:

    \( \displaystyle x_1 = x_0 + \frac{1}{6}(K_1 + 2K_2 + 2K_3 + K_4) = 2,2051\)
Esto nos permite llegar a la siguiente iteración con:

    \( \displaystyle \begin{array}{l} K_1 = hf(x_1,t_1)0,1(2,2051-0,1)= 0,2105 \\\\ K_2 = 0,2160 \; ; \; K_3 = 0,2163 \; ; \;K_4 = 0,2221 \end{array} \)
Por lo que tendremos:
    \( \displaystyle x_1 = x_0 + \frac{1}{6}(K_1 + 2K_2 + 2K_3 + K_4) = 2,4213 \)
Para la última iteración necesaria en el método de Runge – Kutta resulta:
    \( \displaystyle \left.\begin{array}{l} K_1 = hf(x_2,t_2)= 0,1(2,4213-0,2)= 0,2221 \\\\ K_2 = 0,2282 \; ; \; K_3 = 0,2285 \; ; \;K_4 = 0,2400 \end{array}\right\} x_3 = 2,6515 \)
De ese modo, con los valores obtenidos de x0, x1, x2 y x3 podemos aplicar el método de Adams – Moulton :
    \( \displaystyle \begin{array}{l} x_4^p = x_3 + \frac{T}{24}[55f(x_3)- 59f(x_2)+ 37f(x_1)- 9f(x_0)]= 2,8938 \\\\ x_4^c = x_3 + \frac{T}{24}[9f(x_4^p)+ 19f(x_3)- 5f(x_2)+ f(x_1)]= 2,8936 \end{array} \)
Tomando el valor corregido para la siguiente iteración, resulta:

    \( \displaystyle \begin{array}{l} x_5^p = x_4 + \frac{T}{24}[55f(x_4)- 59f(x_3)+ 37f(x_2)- 9f(x_1)]= 3,15048 \\\\ x_5^c = x_4 + \frac{T}{24}[9f(x_5^p)+ 19f(x_4)- 5f(x_3)+ f(x_2)]= 3,15066 \end{array} \)
Continuando el proceso hasta la décima iteración, obtenemos que el valor aproximado de la función dada por el método de Adams – Moulton, es x(1) = 4,72152.

Vamos a ver ahora cual es su valor a partir de la solución analítica de la ecuación que define la función dada. Tenemos:

    \( \displaystyle \dot{x} = \frac{dx}{dt}= x - t \)
Integrando la ecuación homogénea resulta:

    \( \displaystyle \dot{x} = \frac{dx}{dt}= x - t\Rightarrow \dot{x} = x \Rightarrow \ln x = t + \ln K \Rightarrow x = Ke^t \)
Y aplicando el método de variación de constantes:

    \( \dot{x} = Ke^t + \dot{K}e^t \)
Por lo cual:

    \( \dot{x} = x - t \Rightarrow Ke^t + \dot{K}e^t = Ke^t - t \Rightarrow \dot{K}e^t = -t \)
Operando con la última expresión:

    \( \displaystyle \dot{K} = -te^{-t}\Rightarrow dK = -te^{-t}dt \Rightarrow K = (1+t)e^{-t} + C \)
Y llevando este valor de K a la solución:

    \(x = Ke^t = [(1+t)e^{-t} + C]e^t = 1 + t + Ce^t \)
Teniendo en cuenta que x(0) = 2 resulta C = 1 y la solución general de la ecuación diferencial dada es:
x(t) = 1 + t + et
Y en el punto t = 1, valdrá:
x(1) = 1 + 1 + e¹
Y se comete un error del 0,07 % empleando un valor de h igual a 0,1.
EJERCICIOS RESUELTOS DE MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA INGENIEROS Y TÉCNICOS


tema escrito por: José Antonio Hervás