PROBLEMAS RESUELTOS
DE FISICA
ejercicios resueltos de física nuclear y atómica

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Problemas resueltos de Física Nuclear

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FÍSICA NUCLEAR

Respuesta del ejercicio - 37
Para obtener la distribución espacial de neutrones necesitamos resolver la ecuación de difusión:

    \( \displaystyle D\nabla^2\Phi - \Sigma_a\Phi + S = \frac{\partial n}{\partial t} \)
Para un sistema en estado estacionario como el que tenemos, se anula el miembro de la derecha, de modo que podemos escribir:

    \( \displaystyle D\nabla^2\Phi - k^2\Phi = 0 + C.F. \textrm{ con }\; k^2 = \frac{\Sigma_a}{D} \)
Donde con C.F hemos anotado la llamada condición de fuente.
Si consideramos que la lámina es infinita en las coordenadas z e y, tomando coordenadas cartesianas y haciendo que la fuente (plana) coincida con el plano X = 0, podemos escribir:

    \( \displaystyle \frac{d^2\Phi}{k^2 x} - k^2\Phi = 0 \rightarrow Ae^{-ka} + Be^{+ka} \)
Para determinar el valor de los coeficientes hacemos uso de las condiciones de los límites. Para calcular B consideramos la condición de que el flujo debe anularse en la superficie límite extrapolada, es decir:

    \( \Phi(a) = Ae^{-ka} + Be^{+ka}\; ; \; B = -Ae^{-2ka} \)
Para obtener el valor de A empleamos la condición de fuente. Tenemos:

    \( \displaystyle J(x) = - D\nabla\Phi = - D\frac{d\Phi}{dx} = DkA(e^{-ka}+ e^{-2ka}e^{ka}) \)
En el límite, cuando el espesor se haga nulo, el flujo neto de neutrones a través de las dos caras será 2•J(x) = S, y de ahí:

    \( \displaystyle\begin{array}{l} 2J(x) = DkA(e^{-ka}+ e^{-2ka}e^{ka}) \rightarrow \\ \\ \Rightarrow \lim_{x \to 0}{2J(x)}= S = 2DkA(1 +e^{-2ka} ) \end{array} \)
Por lo que tendremos:

    \( \displaystyle A = \frac{S}{2Dk(1 +e^{-2ka} )} \)
Y la solución de la ecuación será:

    \( \displaystyle \Phi(x) = \frac{(e^{-ka}+ e^{-2ka}e^{ka})}{2DkA(1 +e^{-2ka})}S = \frac{\sinh k(a-x)}{2Dk\cosh(ka)}S \)
Para obtener la corriente en el borde hacemos:

    \( \displaystyle J(x) = - D\nabla\Phi = - D\frac{d\Phi}{dx} = \frac{\cosh k(a-x)}{2\cosh (ka)}S \)
Y en x = a tendremos:

    \( \displaystyle J(a) = \frac{S}{2\cosh (ka)} \)
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tema escrito por: José Antonio Hervás