PROBLEMAS RESUELTOS
DE FISICA
ejercicios resueltos de física nuclear y atómica

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FÍSICA NUCLEAR

Respuesta del ejercicio - 35
Vamos a suponer que la fuente puntual existente en el medio infinito está situada en el origen de coordenadas. En este caso podemos considerar que la distribución neutrónica posee simetría esférica. Podemos escribir entonces la ecuación de difusión sin fuentes:

    \( \displaystyle \nabla^2\Phi - k^2\Phi = 0 \rightarrow \frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}\left(r^2\frac{d\Phi}{dr}\right) - k^2\Phi =0 \)
Ecuación válida para todo el espacio salvo en r = 0, que es donde hemos situado S.
Para integrar la ecuación anterior, realizamos un cambio de variable:

    \( \displaystyle \Phi(r) = \frac{1}{r}u(r) \rightarrow \frac{d\Phi}{dr} = - \frac{1}{r^2}u(r) + \frac{1}{r}\frac{du}{dr} \)
Con lo cual, después de simplificar, nos queda:
    \( \displaystyle \begin{array}{l} \frac{d^2u}{dr^2}- k^2u = 0 \rightarrow u(r) = Ae^{-kx} + Be^{+kx}\rightarrow \\ \\ \Rightarrow \Phi(x)= \frac{A}{r}e^{-kx} + \frac{B}{r}e^{+kx} \end{array} \)
La constante B ha de ser en este caso nula ya que el termino exp(kr) crece exponencialmente con r y no permite que el flujo sea finito para todo valor de r. Así pues:
    \( \displaystyle \Phi(x)= \frac{A}{r}e^{-kx} \)
Para calcular el valor de A utilizamos la denominada condición de fuente. Si es J la densidad de corriente neutrónica en la superficie de una esfera de radio r en cuyo centro se encuentra la fuente, el flujo que atraviesa toda la superficie por segundo será:
    \( 4\pi r^2\times J(r) \)
El valor límite de esa expresión al tender r a cero, será igual a la intensidad de la fuente, S, es decir, el número de neutrones emitidos por la fuente puntual, en todas direcciones, por segundo:

    \( \lim_{x \to 0}{4\pi r^2\times J(x)}= S \)
Y tenemos:

    \( \displaystyle J(x) = - D\nabla\Phi = -D\frac{d\Phi}{dr}= DAe^{+kx}\left(\frac{1+kr}{r^2}\right) \)
Con lo que resultará:

    \( \displaystyle \lim_{r \to 0}{4\pi r^2\times DAe^{+kx}\left(\frac{1+kr}{r^2}\right) }= S \rightarrow A = \frac{S}{4\pi D} \)
Y esto nos da físicamente para el flujo y la densidad de corriente:
    \( \displaystyle \Phi(r) = \frac{S}{4\pi D} e^{-kx} \rightarrow J(x) = - D \frac{d\Phi}{dr}= \frac{S}{4\pi r^2}(1+ kr ) e^{-kx} \)
En el caso del agua tenemos k = 0,36 cm-1 ; D = 0,17 y resultará:

    \( \Phi(30 cm) = 3,18\times 10^{-7}\times S \; J(30 cm) = 2,12\times 10^{-8}\times S \)
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tema escrito por: José Antonio Hervás