PROBLEMAS RESUELTOS
DE FISICA
ejercicios resueltos de física nuclear y atómica

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FÍSICA NUCLEAR

Respuesta del ejercicio - 34
La expresión general de la ecuación de difusión es:

    \( \displaystyle D\nabla^2\Phi - \Sigma_a \Phi + S = \frac{\partial n}{\partial t} \)
Donde los términos del primer miembro corresponden, respectivamente, a las velocidades de escape, absorción y producción de neutrones por cm3 y por segundo y el segundo miembro expresa la variación en el tiempo de la densidad neutrónica.
En el caso que estamos considerando, la fuente es plana y el medio infinito, por lo que el flujo debe ser sólo función de la distancia x. Además, podemos considerar un estado estacionario. De ese modo:

    \( \displaystyle \nabla^2\Phi - \Sigma_a \Phi + \frac{S}{D} = 0 \; \;\textrm{ con } k^2 = \frac{\Sigma_a}{D} \)
La solución general de esta ecuación es de la forma:

    \( \displaystyle \Phi(x) = Ae^{-kx} + Be^{+kx} \quad (*) \)
En ella, la constante B ha de ser nula pues, de lo contrario, el flujo se haría infinito al aumentar x. la constante A puede determinarse con la condición de fuente.
Supongamos una cajita de superficie unidad y espesor 2x de la fuente plana; el flujo neto de neutrones a través de ambas caras es 2J(x) siendo J(x) la densidad de neutrones en cada una. En el límite, cuando x tienda a cero, el flujo será S y tendremos:

    \( \displaystyle\lim_{x \to 0}{2J(x)}= S\rightarrow \lim_{x \to 0}{2J(x)}= \frac{S}{2} \)
Por lo tanto, teniendo en cuenta la relación que liga a la densidad de neutrones con el flujo:
    \( \displaystyle f(x) = - D\nabla\Phi = -D\frac{d\Phi}{dx} = DAke^{-kx} \)
Y tomando límites:

    \( \displaystyle \lim_{x \to 0}{2J(x)}= \frac{S}{2} = DAk \rightarrow A = \frac{S}{2kD} \)
Sustituyendo el valor de A en (*) nos queda:

    \( \displaystyle \Phi(x) = \frac{S}{2kD}e^{-kx} \rightarrow J(x) = - D\nabla \Phi = \frac{S}{2}e^{-kx} \)
El valor teórico del coeficiente de difusión puede escribirse en este caso:

    \( \displaystyle D = \frac{1}{3\Sigma_s(1- \bar{\mu}_o)} = \frac{1}{3\Sigma_s[1- (2/3A)]} \)
Siendo Σs la sección eficaz macroscópica de dispersión, \( \bar{\mu}_o\) el coseno medio del ángulo de dispersión neutrónica en el sistema de laboratorio y A el número másico del núcleo dispersante.
Para el agua el valor teórico de D es 0,10, pero experimentalmente resulta ser de 0,17, con lo cual:
    \( \displaystyle k = \sqrt{\frac{\Sigma_a}{D}}= 0,36 cm^{-1}\quad \textrm{con }\Sigma_a = 0,022 cm^{-1} \)
Y finalmente:
    \( \displaystyle \Phi(20 cm)= \frac{S}{2·0,36·0,17}· \exp[-0,36 · 20] = 6,1· 10^{-3} S \)
    \( \displaystyle J(20 cm)= \frac{S}{2}\times \exp[-0,36 \times 20] = 3,7\times 10^{-4} S \)
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tema escrito por: José Antonio Hervás