PROBLEMAS RESUELTOS
DE FISICA
ejercicios resueltos de física nuclear y atómica

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FÍSICA NUCLEAR

Respuesta del ejercicio 25
¿Cuál es la probabilidad de permanencia de un neutrón en un sistema finito? ¿Cómo se calcula?

La probabilidad de permanencia de un neutrón en un sistema finito se define como la relación entre el factor de multiplicación infinito, k, y el factor de multiplicación efectivo, kef:

    \( \displaystyle P = \frac{k_{ef}}{k_\infty} = \frac{\textrm{ Neutrones absorbidos}}{\textrm{Neutrones absorbidos + Neutrones que escapan}} \)
En esta relación, el factor de multiplicación infinita, que se define para un sistema infinitamente grande, es la relación entre el número de neutrones que se producen por fisión en cada generación y el número de neutrones absorbidos por la generación anterior. Análogamente, el factor de multiplicación efectivo, que se define para un sistema de tamaño finito, es la relación entre el número de neutrones producidos por fisión en cada generación y el número total de neutrones perdidos por absorción y por escape en la generación anterior.
La probabilidad de permanencia depende parcialmente de la naturaleza de los materiales, pero sobre todo de la geometría del sistema, es decir, de su forma y tamaño. Para un reactor de composición determinada, la probabilidad de permanencia aumenta con el tamaño del mismo, tendiendo a la unidad para sistemas de tamaño infinito, en cuyo caso, k y kef son idénticos.
El cálculo de la probabilidad de permanencia va ligado a la llamada condición de criticidad para sistemas de tamaño finito, que viene dada por:
    kef = 1 ⇒ k·P = 1
Dado que de un sistema finito escapan neutrones de todas las energías y que la velocidad del proceso está regida por los coeficientes de difusión y gradientes de concentración correspondientes a todas esas energías, el cálculo completo del escape neutrónico es un problema sumamente complejo para el que se han propuesto varios métodos aproximados que lo simplifican.
La aproximación más sencilla para deducir la ecuación crítica de un reactor consiste en considerar que todos los neutrones poseen la misma energía. Este es denominado método de difusión “para un grupo” en el que se supone que todos los procesos neutrónicos, a saber, producción, difusión – escape y absorción, tienen lugar con una sola energía. La aproximación a que conduce este método resulta apropiada para reactores rápidos en los que apenas se produce moderación de neutrones. Se llega en este caso a la expresión:

    \( \displaystyle k_\infty\left(\frac{1}{1 + L^2B_c^2}\right) = 1 \Rightarrow k_\infty·P \)
Donde L es la longitud de difusión de los neutrones a la energía considerada, y \(B_c^2\) la laplaciana crítica del sistema, que constituye una medida de la curvatura de la dispersión espacial del flujo neutrónico.
En el método de dos grupos, que constituye una aproximación bastante buena para reactores térmicos grandes, se considera que los neutrones son, una de dos, rápidos o térmicos. Según este método, la ecuación de criticidad para un reactor desnudo viene dada por:

    \( \displaystyle \frac{k_\infty}{\left(1 + L_1^2B_c^2\right)\left(1 + L_2^2B_c^2\right)}= 1 \Rightarrow k_\infty·P \)
En la que los subíndices 1 y 2 se refieren a neutrones rápidos o térmicos, respectivamente.
Como pude apreciarse, esta ecuación es similar a la ecuación de criticidad para un solo grupo con la excepción de que en ella hay dos factores que representan las probabilidades de permanencia del sistema crítico, correspondientes a cada uno de los dos grupos de neutrones.

En el caso de la longitud de difusión para los neutrones rápidos, puede demostrarse que su significado general es análogo al de la edad Fermi en el modelo de moderación continua, por lo que la expresión anterior puede escribirse en la forma:

    \( \displaystyle \frac{k_\infty}{\left(1 + \tau B_c^2\right)\left(1 + L_2^2B_c^2\right)}= 1 \)
Finalmente, en el método de la difusión – edad, se hace una estimación del escape de neutrones utilizando el concepto de moderación continua, con el fin de determinar el valor de la fuente en la ecuación de difusión en su estado estacionario. Con las consideraciones necesarias se llega a obtener para la condición de criticidad una expresión totalmente análoga a la de la aproximación de dos grupos, aunque entendiendo que, en este caso, la edad, \(\tau\) se refiere a neutrones térmicos.

    \( \displaystyle \frac{k_\infty}{\left(1 + \tau B_c^2\right)\left(1 + L^2B_c^2\right)}= 1 \)
Para este caso, despreciando los términos en \(B_c^4\) que son muy pequeños cuando se trata de un reactor grande, la ecuación de criticidad se reduce a:

    \( \displaystyle \frac{k_\infty}{1 + B_c^2(L^2 + \tau)} = 1 \)
Y teniendo en cuenta que el área de emigración para neutrones térmicos se define, en general, como la suma contenida en el paréntesis del denominador de la anterior expresión, resulta:

    \( \displaystyle \frac{k_\infty}{1 + B_c^2·M^2} = 1 \)
Este resultado expresa que en la aproximación e la difusión – edad la probabilidad de permanencia es inversamente proporcional al área de emigración, M².
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tema escrito por: José Antonio Hervás