PROBLEMAS RESUELTOS
DE FISICA
ejercicios resueltos de física nuclear y atómica

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FÍSICA NUCLEAR

Respuesta del ejercicio 18
Velocidad de desintegración. Equilibrio secular


En una especie radiactiva determinada, cada núcleo tiene una probabilidad definida de desintegrarse en la unidad de tiempo; esta probabilidad de desintegración posee un valor constante, característico del radioisótopo de que se trate y permanece invariable sea cual fuere el estado físico o químico del elemento, a cualquier temperatura o presión. En una muestra concreta, la velocidad de desintegración en cada instante es siempre directamente proporcional al número de átomos radiactivos del isótopo considerado presentes en ese instante. De ese modo, si N es el número de átomos (o núcleos) radiactivos existentes en el instante t, la velocidad de desintegración viene dada por:

    \( \displaystyle \frac{dN}{dt} = - \lambda意 \quad (*) \)
Siendo λ una constante, llamada constante de desintegración de la especie radiactiva y que constituye una medida de su probabilidad de desintegración. Integrando la anterior expresión entre 0 y t se tiene:

    \( N = N_o搪^{-\lambda t}\quad (**) \)
Y podemos observar que la desintegración radiactiva es un proceso exponencial en el que la velocidad de desintegración viene determinada por la constante λ y por el número de núcleos radiactivos presentes.

En una serie de desintegraciones por etapas, cada miembro radiactivo de la serie se desintegra de acuerdo con la ecuación (*) con un valor propio y característico de la constante de desintegración, λi. Dicha serie se representa por:

    \(A \rightarrow \lambda_A\rightarrow B \rightarrow \lambda_B\rightarrow C \rightarrow \lambda_C\cdots\rightarrow X \)
Y en ella A representa al progenitor y X al producto final, estable, de la serie.

Para cualquier miembro de la serie que no sea ni el primero ni el último, la velocidad neta de transformación viene regida por los elementos precedentes. Así, por ejemplo, para el caso B tendremos:

    \( \displaystyle \frac{dN_B}{dt} = \lambda_A意_A - \lambda_B意_B \)
Y considerando que en todo momento la concentración de A viene dada por la ecuación (**), podemos obtener para B:

    \( \displaystyle N_B = \frac{\lambda_A意_{A_o}}{\lambda_B -\lambda_A}\left(e^{-\lambda_A t}- e^{-\lambda_B t}\right) + N_{B_o}搪^{-\lambda_B t} \quad (***) \)
Ecuación que junto a (**) nos permite calcular las cantidades de progenitor A y descendiente, B, existentes al cabo del tiempo t, en función de las cantidades iniciales de ambos y de sus respectivas constantes de desintegración.

Si el progenitor posee un periodo apreciablemente más largo que el del núclido descendiente (λA < λB) y suponiendo que \(N_{B_o}\) es cero, la ecuación (***) se reduce a:
    \( \displaystyle \begin{array}{l} N_B \cong \frac{\lambda_A}{\lambda_B - \lambda_A}意_{A_o}搪^{-\lambda_A t}= \frac{\lambda_A}{\lambda_B - \lambda_A}意_A \Rightarrow \\ \\ \Rightarrow\frac{N_B}{N_A} \approx \frac{\lambda_A}{\lambda_B - \lambda_A} \end{array}\)
Puesto que transcurrido un tiempo suficientemente largo, podemos despreciar e- λBt frente a e- λAt .

El cociente anterior describe la condición llamada de equilibrio transitorio, en el cual las cantidades absolutas de A y B varían con el tiempo, pero su relación se mantiene constante.

Si ocurre que el progenitor tiene un periodo muy largo (λA << λB), los términos con \(e^{- \lambda_Bt}\) en la ecuación (***) pueden despreciarse y, además λB - λA puede aproximarse a λB, de modo que al cabo de cierto tiempo se verifica:

    \( \displaystyle \frac{N_B}{N_A} = \frac{\lambda_A}{\lambda_B - \lambda_A}\approx \frac{\lambda_A}{\lambda_B}\Rightarrow \lambda_A意_A \approx \lambda_B意_B \)
Expresión que representa el estado de equilibrio secular en el cual no solo es constante la relación entre A y B, sino también la cantidad absoluta de B. Esto es evidente puesto que al ser aproximadamente iguales los términos anteriores se tiene que A se desintegra para formar B con la misma velocidad con la que B se desintegra para formar C, de modo que la cantidad neta de B se mantiene inalterada.

Todos los miembros de una serie radiactiva, excepto el último, llegarán a un estado de equilibrio secular siempre que el progenitor de la serie posea un periodo muy largo.
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tema escrito por: José Antonio Hervás