Ejercicios de electricidad y magnetismo
Respuesta al ejercicio 29
La carga total del sistema antes de introducir el dieléctrico
será 2Q, siendo Q la carga de uno de los condensadores. Al introducir
un dieléctrico en uno de los condensadores, varía la capacidad
de este y se tiene :
\( C' = \varepsilon_r·C \)
siendo C la capacidad al principio.
En estas condiciones variará la carga de cada condensador pero
no así la carga total del sistema y se tendrá :
Como, en general, se tiene : Q = C.V,
podemos hacer :
\( 2·C·V = \varepsilon_r·C·V^{\; \prime} + C·V^{\; \prime} \)
de dónde, la tensión final será :
\( \displaystyle 2·C·V = (\varepsilon_r·C + C)·V^{\; \prime} \Rightarrow
V^{\; \prime} = \frac{2·CV}{\varepsilon_r·C + C} = \frac{2·V}{\varepsilon_r
+ 1} \)
Cuando el sistema se encuentre en equilibrio, al final, la diferencia
de carga entre los condensadores será:
\( Q= \varepsilon_r·C·V^{\; \prime} - C·V^{\; \prime} = CV^{\; \prime}(\varepsilon_r - 1)\)
sustituyendo \(V^{\; \prime}\) por su valor nos queda finalmente:
\( \displaystyle Q = 2·VC·\frac{(\varepsilon_r - 1)}{(\varepsilon_r + 1)} \)
No obstante para completar esa diferencia de carga entre los
dos condensadores solo es necesario que uno de ellos pierda la
mitad, de esa forma el otro ganara la misma cantidad y la diferencia
será la indicada, por lo tanto, la carga Q que pasa es :
\( \displaystyle VC·\frac{(\varepsilon_r - 1)}{(\varepsilon_r
+ 1)} \)