EJERCICIOS RESUELTOS
FÍSICA
- ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO -

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Problemas de electricidad y magnetismo

 

Ejercicios de electricidad y magnetismo

Respuesta al ejercicio 13

Para calcular el potencial en el punto 1 vamos a calcular primero el campo en dicho punto aplicando el teorema de Gauss. Si consideramos como superficie gaussiana un cilindro de radio r, el flujo que atraviesa dicha superficie es :
    \( \displaystyle \Phi = \frac{Q}{\varepsilon} \)
Por otro lado, sabemos que el flujo que atraviesa una superficie viene dado por la expresión :
    \( \displaystyle \int _S E·dS·\cos \alpha = E·S = 2 \pi ·r·h·E \)
Puesto que E y dS son perpendiculares entre si, podemos considerar uniforme el campo entre los dos cilindros. Igualando ambas expresiones tendremos :
    \( \displaystyle 2 \pi ·r·h·E = \frac{Q}{\varepsilon} \Rightarrow E = \frac{Q}{2 \pi ·r·h· \varepsilon} \)
Sabiendo que el campo es igual al gradiente, cambiado de signo, del potencial, podemos poner :
    \( \displaystyle dV = - E·dr \Rightarrow \int \limits _a^p dV = - \frac{Q}{2 \pi ·h· \varepsilon} \int \limits _a^r \frac{dr}{r} \Rightarrow V_p - V_a = - \frac{Q}{2 \pi ·h· \varepsilon}· \ln\left(\frac{r}{a}\right) \; (1) \)
Si tomamos como límites de integración a y b, se tiene :
    \( \displaystyle \int \limits _a^b dV = - \frac{Q}{2 \pi ·h· \varepsilon} \int \limits _a^b \frac{dr}{r} \Rightarrow V_b - V_a = - \frac{Q}{2 \pi ·h· \varepsilon}· \ln\left(\frac{b}{a}\right) \qquad (2) \)
Dividiendo miembro a miembro las ecuaciones (1) y (2) se tiene :
    \( \displaystyle \frac{V_p - V_a}{V_b - V_a} = \frac{\ln (a/r)}{\ln (a/b)} \Rightarrow V_p - V_a = (V_b - V_a)· \frac{\ln (a/r)}{\ln (a/b)} \)
Sabiendo, por otro lado, que para la diferencia de potencial entre los puntos a y b se puede escribir :
    \( V_{ab} = V_a - V_b \Rightarrow V_b - V_a = - V_{ab} \)
Tendremos :
    \( \displaystyle V_p - V_a = - V_{ab}· \frac{\ln (a/r)}{\ln (a/b)} = - V_{ab}· \frac{- \ln (r/a)}{- \ln (b/a)} \Rightarrow V_p = V_a - V_{ab}· \frac{ \ln (r/a)}{ \ln (b/a)} \)
Para hallar los radios de las superficies equipotenciales de 200 V y de 0 V, aplicamos la ecuación obtenida de la que resulta respectivamente 0,57 cm y 3,16 cm.
En el tercer apartado nos piden calcular el campo en dichas superficies equipotenciales, por lo que, en principio, podríamos pensar en emplear el teorema de Gauss pero no es posible porque no conocemos la carga en dichas superficies ni la altura común, h, de los cilindros.
Lo que podemos hacer es derivar la ecuación que nos da el potencial en un punto cualquiera P, pues sabemos que se cumple :
    \( \displaystyle E = - \frac{dV}{dr} \)
De ese modo, tendremos :
    \( \displaystyle dV = dV_a - d\left(V_{ab}· \frac{ \ln (r/a)}{ \ln (b/a)}\right) = - \frac{V_{ab}}{\ln (b/a)} · d[\ln (r/a)] = \)

    \( \displaystyle = - \frac{V_{ab}}{\ln (b/a)}·\frac{1/a}{r/a}·dr \Rightarrow E = - \frac{V_{ab}}{\ln (b/a)} ·\frac{1}{r} \)
Y a partir de ahí obtener para E(200) el valor 12408 V/m. De igual forma se pueden calcular los valores del campo en los otros puntos solicitados.

El cuarto apartado se trata, en realidad, de un problema separado de los anteriores. Consideremos la ecuación :
    \( \displaystyle E = - \frac{dV}{dr} \Rightarrow - d V = E·dr \)
Si consideramos r a lo largo de la línea que une a las dos placas (ver figura)

placas eléctricas cargadas

y admitimos que E no varía entre ellas , Podemos poner :
    \( \displaystyle - \int \limits _a^b d V = E \int \limits _0^d dr \Rightarrow V_a - V_b = E·d \Rightarrow E = \frac{V_a - V_b}{d} = \frac{800}{9 \times 10^{-2}} V/m \)
PROBLEMAS RESUELTOS - ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO


tema escrito por: José Antonio Hervás