EJERCICIOS RESUELTOS
FÍSICA
- ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO -

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Problemas de electricidad y magnetismo

 

Ejercicios de electricidad y magnetismo

Respuesta al ejercicio 14

Vamos a determinar la expresión general que nos da la capacidad de un condensador plano. La capacidad se define por :
    \( \displaystyle C = \frac{Q}{V} \)
Según esto, si la carga del condensador es Q, la diferencia de potencial entre las placas será el trabajo para transportar la unidad de carga desde una placa hasta la otra a través del campo eléctrico que existe entre ambas es :
    \( \displaystyle dV = - E·dr \Rightarrow V = - \int \limits _d^0 \frac{\sigma}{\varepsilon}·dr = \left. - \frac{\sigma}{\varepsilon}·r\right]_d^0 = \frac{\sigma}{\varepsilon}·d \)
La capacidad del condensador será entonces :
    \( \displaystyle C = \frac{Q}{V} = \frac{Q}{\displaystyle \frac{\sigma}{\varepsilon}·d} = \varepsilon · \frac{Q}{\sigma ·d} \)
Pero como la densidad superficial de carga vale Q/S nos queda :
    \( \displaystyle C = \varepsilon · \frac{Q}{\sigma ·d} = \varepsilon · \frac{Q}{(Q/S)·d} = \varepsilon · \frac{S}{d} \)
Sustituyendo valores y teniendo en cuenta que en el primer caso la constante dieléctrica es la del vacío, resulta :
    \( \displaystyle C = \varepsilon · \frac{S}{d} = \frac{1}{4·\pi · 9 \times 10^9} \times \frac{2}{5·10^{-3}} = \frac{10^{-7}}{9· \pi} \textrm{Faradios} \)
Por aplicación de la expresión general, calculamos ahora la carga de cada placa :
    \( \displaystyle C = \frac{Q}{V} \Rightarrow Q = C·V = \frac{10^{-7}}{9· \pi} \textrm{Faradios} \times 10^4 \textrm{ Voltios} = \frac{10^{-3}}{9· \pi} \textrm{ Culombios} \)
Esta carga permanecerá en las placas mientras el condensador no se descargue. Para calcular la densidad superficial de carga, aplicamos la ecuación que la define :
    \( \displaystyle \sigma = \frac{Q}{S} = \frac{10^{-3}}{9· \pi \times 2} \textrm{ Culombios}/m^2 \)
El campo, cuando el dieléctrico es el vacío, vale :
    \( \displaystyle E = \frac{\sigma}{\varepsilon_0} = \frac{10^{-3}/18·\pi}{1/4·\pi·9·10^9} = 2 \times 10^6 \frac{Nw}{Cul} \textrm{ ó } \frac{V}{m} \)
El campo también se puede calcular a partir de :
    \( \displaystyle E·d = V \Rightarrow E = \frac{V}{d} = \frac{10^4}{5 \times 10^{-3}} = 2 \times 10^6 \frac{Nw}{Cul} \textrm{ ó } \frac{V}{m} \)
El desplazamiento viene dado por la expresión :
    \( \displaystyle D = \varepsilon_0 \times E\; ; \textrm{ pero } E = \frac{\sigma}{\varepsilon_0} \Rightarrow D = \sigma \)
Con lo que tendremos :
    \( \displaystyle D = \varepsilon_0 E = \frac{1}{4·\pi · 9 \times 10^9}\frac{cul^2}{Nw·m^2} \times 2·10^6 \frac{Nw}{Cul} = \frac{10^{-3}}{18 \pi}\frac{cul}{m^2} = \sigma \)
Es evidente que al obtenerse el desplazamiento y la densidad de carga mediante la expresión Q/S, ambos términos son independientes de las propiedades del dieléctrico colocado entre las láminas y, por tanto, permanecen constantes.
Vamos a determinar ahora la capacidad del condensador con el nuevo dieléctrico. Tenemos :
    \( \displaystyle C = \varepsilon_0 \times \frac{S}{d} = \varepsilon' \varepsilon_0 \frac{S}{d} = \varepsilon' C_0 = 5 \times \frac{10^{-7}}{9· \pi} \textrm{Faradios} \)
Teniendo en cuenta que la carga permanece constante, el nuevo potencial entre las láminas, si se retira la fuente de tensión, será :
    \( \displaystyle V = \frac{Q}{C} = \frac{10^{-3}/9· \pi}{5·10^{-7}/9· \pi} = 2000 V \)
El campo entre las láminas en las nuevas condiciones podemos determinarlo a partir de cualquiera de las expresiones :
    \( \displaystyle E = \frac{V}{d} = \frac{\sigma}{\varepsilon_0} = 4 \times 10^5 \frac{V}{m} \)
Vamos a considerar el caso general de un conductor plano con mas de un medio dieléctrico.

Supongamos que el medio dieléctrico está formado por tres sustancias diferentes.

medio dieléctrico con tres sustancias

Si los espesores son a, b y c y sus constantes dieléctricas relativas son \(\varepsilon'_1 , \varepsilon'_2 \textrm{ y } \varepsilon'_3\) , podemos establecer que la diferencia de potencial VA – VD entre sus armaduras vale :
    \( V_A - V_D = [(V_A - V_B) + (V_B - V_C) + (V_C - V_D)] \)
La expresión anterior se puede plantear, en primer lugar, por ser razonable que la diferencia de potencial VA – VD entre los puntos extremos A y D sea la suma de las diferencias de potencial entre los distintos puntos intermedios y, en segundo lugar, porque si quitamos los paréntesis, parte de los sumandos se anulan quedando finalmente una identidad. Calculamos cada una de estas diferencias de potencial de modos similar a como lo hemos hecho anteriormente :
    \( \displaystyle V_A - V_B = - \int \limits _a^0 \frac{\sigma}{\varepsilon'_1·\varepsilon_0}dr = \frac{\sigma·a}{\varepsilon'_1·\varepsilon_0} \; ; \; V_B - V_C = \frac{\sigma·b}{\varepsilon'_2·\varepsilon_0} \; ; \; V_C - V_D = \frac{\sigma·c}{\varepsilon'_3·\varepsilon_0} \)
Por lo tanto, tendremos :
    \( \displaystyle V_A - V_D = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}\left(\frac{a}{\varepsilon'_1} + \frac{b}{\varepsilon'_2} + \frac{c}{\varepsilon'_3} \right) \)
y la capacidad del condensador será :
    \( \displaystyle C = \frac{Q}{V_A - V_D} = \frac{Q}{\displaystyle \frac{\sigma}{\varepsilon_0}\left(\frac{a}{\varepsilon'_1} + \frac{b}{\varepsilon'_2} + \frac{c}{\varepsilon'_3} \right)} = \varepsilon_0 \times \frac{S}{\displaystyle \left(\frac{a}{\varepsilon'_1} + \frac{b}{\varepsilon'_2} + \frac{c}{\varepsilon'_3} \right)} \)
Para el caso que nos ocupa, con dos dieléctricos, tenemos :
    \( \displaystyle C = \frac{1}{4 \pi ·9·10^9} \times \frac{2}{\left(\frac{2}{5} + \frac{3}{2}\right)10^{-3}} = \frac{10^{-5}}{342· \pi} \textrm{ Faradios} \)
Un condensador de las características estudiadas es equivalente a dos condensadores sencillos colocados en serie, por lo que esta parte del problema la podríamos haber resuelto sabiendo que :
    \( \displaystyle \frac{1}{C_t} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} \)
Por último, vamos a considerar el caso en el que el dieléctrico solo ocupa la mitad de la superficie de las placas. Podemos considerar entonces que el sistema es equivalente a una conexión de condensadores en paralelo para la que se cumple :
    \( \displaystyle C_t = \sum \limits _{i=1}^{i=n} C_i \Rightarrow \varepsilon_0 \frac{S_1}{d_1} + \varepsilon \frac{S_2}{d_2} = (\varepsilon_0 + \varepsilon)·\frac{S}{d} = \varepsilon_0(1 + \varepsilon')·\frac{S}{d} \)
puesto que en este caso S y d son iguales para los dos condensadores. Sustituyendo por los valores numéricos, se tiene :
    \( \displaystyle C = \frac{1}{4 \pi ·9·10^9} \times \frac{1}{5·10^{-3}} (1+5) = \frac{10^{-7}}{3 \pi} \textrm{ Faradios} \)
Para saber que trabajo es el que hay que realizar para extraer el dieléctrico, vamos a determinar la expresión general que nos da el valor de la energía almacenada en cualquier sistema capaz de contener carga. Sabemos que el potencial se define como el trabajo necesario para trasladar la unidad de carga desde un punto a otro. Según eso, el trabajo elemental que se realiza al introducir una carga dQ en un sistema y que queda almacenado en forma de energía, será :
    \( \displaystyle dW = V·dQ \Rightarrow \int \limits_0^W dW = \int \limits_0^Q V·dQ = \int \limits_0^Q \frac{Q}{C}·dQ \Rightarrow \)

    \( \displaystyle \Rightarrow W = \frac{1}{2}\frac{Q^2}{C} = \frac{1}{2}·C·\frac{Q^2}{C^2} = \frac{1}{2}·C·V^2 \)
La energía almacenada cuando hay dieléctrico y cuando no lo hay, será, respectivamente :
    \( \displaystyle W_{ini} = \frac{1}{2} \times \frac{10^{-7}}{3 \pi} \times \Big(10^4 \Big)^2 = \frac{5}{3 \pi} \textrm{ Julios} \)

    \( \displaystyle W_{fin} = \frac{1}{2} \times \frac{10^{-7}}{9 \pi} \times \Big(10^4 \Big)^2 = \frac{5}{9 \pi} \textrm{ Julios}\)
por lo que el trabajo realizado vendrá dado por :
    \( \displaystyle W_{real} = W_{fin} - W_{ini} = \frac{5}{9 \pi} - \frac{5}{3 \pi} = - \frac{10}{9 \pi} \textrm{ Julios} \)
Como el trabajo es negativo significa que ha sido realizado por el campo, es decir, que el dieléctrico saldrá del condensador sin que nosotros lo forcemos en base al principio de mínima energía a que tiende un sistema.
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tema escrito por: José Antonio Hervás