PROBLEMAS RESUELTOS
DE FÍSICA
ejercicios resueltos de electricidad y magnetismo

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Ejercicios de electricidad y magnetismo

Una pequeña esfera conductora, aislada, de radio R, tiene una carga Q. Se la rodea de otra esfera conductora neutra, de radios r1 y r2.
Calcular los potenciales de las dos esferas. Idem si la esfera exterior se une a tierra.

Respuesta al ejercicio 12

Cuando la esfera exterior no tiene carga, se considera que el problema de calcular el potencial en la superficie de una esfera cargada. Sabemos entonces que el campo en la superficie de una esfera cargada vale:
    \( \displaystyle \vec{E} = \frac{1}{4 \pi · \varepsilon} ·\frac{Q}{R^2} \)
Por otro lado, la relación entre E y V es dV = -E.dr.

esfera eléctrica a tierra

Por lo tanto, el potencial en la superficie de la esfera pequeña será :
    \( \displaystyle V = \int \limits_0^R -\vec{E}dr = - \int \limits_0^R \frac{1}{4 \pi · \varepsilon} ·\frac{Q}{R^2} = \frac{1}{4 \pi · \varepsilon} ·\frac{Q}{R} \)
De la misma forma, el potencial en las caras interior y exterior de la segunda esfera se obtiene sustituyendo R por las distancias r1 y r2:
    \( \displaystyle V_1 = \frac{1}{4 \pi · \varepsilon} ·\frac{Q}{r_1} \quad ; \quad V_2 = \frac{1}{4 \pi · \varepsilon} ·\frac{Q}{r_2} \)
Cuando existen varias cargas el potencial en un punto es la suma algebraica de los distintos potenciales de cada carga. Si la esfera exterior se conecta a tierra (V = 0) su superficie exterior adquiere también potencial nulo, pero como la carga Q que había en la esfera pequeña no ha podido desaparecer, hemos de admitir que lo que ocurre es que aparece una carga Q' de igual magnitud que Q pero de signo contrario, lo que le da a la superficie (2) un potencial nulo; es decir, se tiene:
    \( \displaystyle V_2 = \frac{1}{4 \pi · \varepsilon} ·\frac{Q}{r_2} - \frac{1}{4 \pi · \varepsilon} ·\frac{Q'}{r_2} \)
Tenemos entonces que si en la superficie exterior ha aparecido una carga Q' , el potencial en (1) y en (0) será:
    \( \displaystyle V_1 = \frac{1}{4 \pi \varepsilon} \frac{Q}{r_1} - \frac{1}{4 \pi \varepsilon} \frac{Q'}{r_2} \; ; \; V_0 = \frac{1}{4 \pi · \varepsilon} ·\frac{Q}{R} - \frac{1}{4 \pi · \varepsilon} ·\frac{Q'}{r_2} \)
PROBLEMAS RESUELTOS - ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO
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tema escrito por: José Antonio Hervás