PROBLEMAS RESUELTOS
DE FISICA
ejercicios resueltos de óptica y ondas

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Ejercicios de óptica y ondas

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PROBLEMAS RESUELTOS DE ÓPTICA

Para cristales biaxicos,suponiendo que las ejes de coordenadas escogidos de tal forma que \(\varepsilon_x , \varepsilon_y , \varepsilon_z\) , se pide:

a) Demostrar que cuando el vector \(\vec{S}\) cumple las relaciones:

    \(\displaystyle \begin{array}{l} s^2_x= \frac{v^2_x-v^2_y}{v^2_x-v^2_z}\;;\;s_y=0\;;\;s^2_z= \frac{v^2_y-v^2_z}{v^2_x-v^2_z} \\  \\ con\; v = \frac{1}{\sqrt{\varepsilon_k \mu}} \end{array} \)

existe una unica velocidad de fase.

b ) Representar en los ejes coordenados las dos rectas definidas por las relaciones anteriores y escribir las expresiones que nos dan los angulos que forman cada una de tales rectas con el eje Z.

c ) ¿Que puede decirse para cristales uniaxicos?

RESPUESTA DEL EJERCICIO 23

De acuerdo con la fórmula de Fresnel para las normales de onda tenemos :
    \(\displaystyle \begin{array}{l} S_x^2(v^2 - v_y^2)(v^2 - v_z^2)+ S_y^2(v^2 - v_x^2)(v^2 - v_z^2) +\\ \\+ S_z^2(v^2 - v_x^2)(v^2 - v_y^2)= 0 \end{array} \)
Llamando x = v y reagrupando términos obtenemos :
    \( \begin{array}{l}
    x^2(S_x^2 + S_z^2) - x(S_x^2.v_y^2 + S_x^2·v_z^2 + S_z^2·v_x^2 + S_z^2·v_y^2)+ \\
     \\
    + S_x^2v_y^2 + S_z^2v_x^2v_y^2 = 0
    \end{array}
    \)

Teniendo en cuenta los datos del problema resulta : coeficiente de \(x^2 = 1\) ; coeficiente de \(x = 2·v^2_y\) ; término independiente \(= v^4_y\) , con lo que podemos plantear:

    \(x^2 - 2v_y^2 + v_y^4 = 0 \)

solución doble única

    \(x = v_y^2 = v^2 \Rightarrow v = v_y \)
b) Como \(\varepsilon_x< \varepsilon_y< \varepsilon_z \) , las dos rectas cuyas direcciones vienen determinadas por \(\vec{S}\) son tales que:

    \(\displaystyle \tan \alpha = \left(\frac{S_x}{S_z}\right)_1\quad ; \quad \tan \beta = \left(\frac{S_x}{S_z}\right)_2 \)

Donde los subíndices 1 y 2 representan los distintos signos que se pueden obtener.

Esquema óptico

Como en valor absoluto ambos ángulos son iguales podemos escribir :

    \(\displaystyle \tan \alpha = \frac{\sqrt{\displaystyle \frac{(v_x^2 - v_y^2)}{(v_x^2 - v_z^2)} }}{\sqrt{\displaystyle \frac{(v_y^2 - v_z^2)}{(v_x^2 - v_z^2)}}}\sqrt{\frac{v_x^2 - v_y^2}{v_y^2 - v_z^2}}\)
c) Para cristales uniáxicos se tiene \(v_x = v_y \) ,lo que implica que sustituyendo estos valores en las relaciones del enunciado tengamos:
    \(S_x = S_y = 0 \quad ; \quad S_z = 1 \)
y,en consecuencia,solo existe un eje óptico,que coincide con el eje Z.

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Página publicada por: José Antonio Hervás