Problema 1
Sean
\( \{u_1,u_2,u_3\} \;y \; \{v_1,v_2,v_3\} \)
Bases de un espacio vectorial,E, tales qué:
\( \begin{array}{l}
v_1 = u_1-u_2+u_3 \\
\\
v_2 = u_1-u_3 \\
\\
v_3 = u_2
\end{array} \)
1º) Dar la expresión de cambio de base en T(1,1)
2º) considerando E como espacio vectorial euclideo con la
base ortonormal B, calcular las componentes contravariantes de
un tensor euclídeo de orden 2 cuyas componentes covariantes
en B' son:
\( T^{\:\prime}_{11}= T^{\:\prime}_{13}= T^{\:\prime}_{22}=
T^{\:\prime}_{31} = T^{\:\prime}_{32}= 0 \; ;\; T^{\:\prime}_{12}
= T^{\:\prime}_{21} = T^{\:\prime}_{33} = 1 \; ;\; T^{\:\prime}_{23}=
-1 \)
Problema 2
Encontrar que en un producto tensorial \( A\otimes B \) puede
haber un elemento que no pueda expresarse bajo la forma de un
producto único \( a\otimes b \) , siendo \( a\in A\; y\;
b\in B \). Considérense los espacios \( A = B = K^2\).
Problema 3
Sea E un espacio vectorial donde consideramos las bases
\(B =\{u_1,u_2\} \;y \;B' = \{v_1,v_2\}\)
Tales qué:
\(\begin{array}{l}
v_1 = - u_1 + u_2 \\
\\
V_2 = u_1 - 2·u_2
\end{array} \)
Expresar el cambio de base en T(1,2).
Problema 4
Sea \( \delta^{ij} \) el tensor contravariante de segundo orden
\( \delta^{ij}= \left\{
\begin{array}{l}
1\qquad si\; i=j \\
\\
0\qquad si\;i \neq j \\
\end{array}
\right. \)
Si se efectúa el cambio de coordenadas:
\( \begin{array}{l}
u_1 = 2·v_1-4·v_2 \\
\\
u_2=v_1+3·v_2
\end{array} \)
Calcular las nuevas coordenadas de \( \delta^{ij} \)
Hacer análogamente para \( \delta_{ij} \) y para \( \delta_j^i
\).
Problema 5
Sean
\(B =\{u_1,u_2, u_3\} \;y \;B' = \{v_1,v_2, v_3\}\)
Tales qué:
\( \begin{array}{l}
u_1 = 2·v_1-v_2+v_3 \\
\\
u_2 = v_1+v_2+3·v_3 \\
\\
u_3=-v_1+5·v_2-v_3
\end{array}\)
Dar el cambio de base en la potencia en exterior \( V^{\wedge
2} \)
Problema 6
Sea E un espacio vectorial de dimensión 3 sobre K y sean:
\( x=(1,0,2) \; ; \; y = (0,1,-1)\)
Calcular el producto tensorial \( x\otimes y \) y el producto
exterior \( x\wedge y \).
Problema 7
Sea V el subespacio de ecuaciones:
\( \begin{array}{l}
x_1 = \lambda -\mu \\
\\
x_2 =3·\lambda - 2·\mu \\
\\
x_3 =2·\lambda + 5·\mu \\
\\
x_4 = 4·\lambda + 3·\mu
\end{array} \)
Determinar la potencia exterior \( V^{\wedge q} \).