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MONOGRAFIAS MATEMÁTICAS ~
NOCIONES DE CÁLCULO TENSORIAL

PROBLEMAS DE ALGEBRA TENSORIAL

Problema 1

Sean
    \( \{u_1,u_2,u_3\} \;y \; \{v_1,v_2,v_3\} \)
Bases de un espacio vectorial,E, tales qué:
    \( \begin{array}{l}
    v_1 = u_1-u_2+u_3 \\
     \\
    v_2 = u_1-u_3 \\
     \\
    v_3 = u_2
    \end{array} \)
1º) Dar la expresión de cambio de base en T(1,1)
2º) considerando E como espacio vectorial euclideo con la base ortonormal B, calcular las componentes contravariantes de un tensor euclídeo de orden 2 cuyas componentes covariantes en B' son:
    \( T^{\:\prime}_{11}= T^{\:\prime}_{13}= T^{\:\prime}_{22}= T^{\:\prime}_{31} = T^{\:\prime}_{32}= 0 \; ;\; T^{\:\prime}_{12} = T^{\:\prime}_{21} = T^{\:\prime}_{33} = 1 \; ;\; T^{\:\prime}_{23}= -1 \)

Respuesta 1

Problema 2

Encontrar que en un producto tensorial \( A\otimes B \) puede haber un elemento que no pueda expresarse bajo la forma de un producto único \( a\otimes b \) , siendo \( a\in A y b\in B \). Considérense los espacios \( A = B = K^2\).

Respuesta 2

Problema 3

Sea E un espacio vectorial donde consideramos las bases
    \(B =\{u_1,u_2\} \;y \;B' = \{v_1,v_2\}\)
Tales qué:
    \(\begin{array}{l}
    v_1 = - u_1 + u_2 \\
     \\
    V_2 = u_1 - 2·u_2
    \end{array} \)
Expresar el cambio de base en T(1,2).

Respuesta 3

Problema 4

Sea \( \delta^{ij} \) el tensor contravariante de segundo orden
    \( \delta^{ij}= \left\{
    \begin{array}{l}
    1\qquad si\; i=j \\
     \\
    0\qquad si\;i \neq j \\
    \end{array}
    \right. \)
Si se efectúa el cambio de coordenadas:
    \( \begin{array}{l}
    u_1 = 2·v_1-4·v_2 \\
     \\
    u_2=v_1+3·v_2
    \end{array} \)
Calcular las nuevas coordenadas de \( \delta^{ij} \)
Hacer análogamente para \( \delta_{ij} \) y para \( \delta_j^i \).

Respuesta 4

Problema 5

Sean
    \(B =\{u_1,u_2, u_3\} \;y \;B' = \{v_1,v_2, v_3\}\)
Tales qué:
    \( \begin{array}{l}
    u_1 = 2·v_1-v_2+v_3 \\
     \\
    u_2 = v_1+v_2+3·v_3 \\
     \\
    u_3=-v_1+5·v_2-v_3
    \end{array}\)
Dar el cambio de base en la potencia en exterior \( V^{\wedge 2} \)

Respuesta 5

Problema 6

Sea E un espacio vectorial de dimensión 3 sobre K y sean:
    \( x=(1,0,2) \; ; \; y = (0,1,-1)\)
Calcular el producto tensorial \( x\otimes y \) y el producto exterior \( x\wedge y \).

Respuesta 6

Problema 7

Sea V el subespacio de ecuaciones:
    \( \begin{array}{l}
    x_1 = \lambda -\mu \\
     \\
    x_2 =3·\lambda - 2·\mu \\
     \\
    x_3 =2·\lambda + 5·\mu \\
     \\
    x_4 = 4·\lambda + 3·\mu
    \end{array} \)
Determinar la potencia exterior \( V^{\wedge q} \).

Respuesta 7

Espacio vectorial

Cambio de base

Definición de tensor

Operaciones con tensores

Tipos de tensores

Tensor de inercia

Problemas resueltos

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tema escrito por: José Antonio Hervás