PROBLEMAS RESUELTOS
DE FISICA
ejercicios resueltos de óptica y ondas

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Ejercicios de óptica y ondas

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PROBLEMAS RESUELTOS DE ÓPTICA

Se considera el esquema de la figura, dónde \( P_1\quad y\quad P_2 \) son polarizadores cuyos ejes de transmisión son el "x" y el "y" respectivamente, y L es una lámina de cuarzo de espesor "e" tallada con su eje óptico paralelo a las caras y tal que su eje rápido forma un ángulo \( \alpha \) con el eje "x". Suponiendo que incida luz circularmente polarizada a derechas de intensidad \( I_o \), se pide:
a) calcular, cuando los vectores y matrices de Jones representativos de los elementos del sistema, la intensidad a la salida.
b) se desea ahora aislar una de las dos rayas del doblete de sodio \((\Delta \lambda = 6 \textrm{Å}) \) utilizando el sistema óptico anterior.¿ cuánto deben valer \( \alpha \) y "e" para que el sistema deje pasar únicamente la raya \( \lambda_1 \) con transmisión máxima eliminando la otra raya?
Ejercicio de óptica

Se supondrá que \( n_e\quad y\quad n_o \) son independientes de \( \lambda \) y se considerará conocidos \(n_o, n_e, \lambda_1\quad y\quad \lambda_2 \)

RESPUESTA DEL EJERCICIO 31

Las matrices de Jones correspondientes a un polarizador horizontal, polarizador vertical y una lámina de espesor "e" con el eje rápido en la dirección de "x", son:
    \( \left(
    \begin{array}{cc}
    1 & 0 \\
    0 & 0 \\
    \end{array}
    \right)\left(
    \begin{array}{cc}
    0 & 0 \\
    0 & 1 \\
    \end{array}
    \right)\left(
    \begin{array}{cc}
    e^{i\delta} & 0 \\
    0 & 1 \\
    \end{array}
    \right) \)
Con:
    \( \displaystyle \delta = \frac{2\pi}{\lambda}(n_o-n_e)·e \)
Para obtener la matriz de Jones de una lámina de espesor "e" con el eje rápido en la dirección que forma un ángulo \( \alpha \) con el eje "x" hacemos:
    \( \begin{array}{l}

    \left(
    \begin{array}{cc}
    \cos \alpha & - \sin \alpha \\
    \sin \alpha & \cos \alpha \\
    \end{array}
    \right)\left(
    \begin{array}{cc}
    e^{i\delta} & 0 \\
    0 & 1 \\
    \end{array}
    \right)\left(
    \begin{array}{cc}
    \cos \alpha & \sin \alpha \\
    -\sin \alpha & \cos \alpha \\
    \end{array}
    \right) \\
     \\
    \left(
    \begin{array}{cc}
    e^{i\delta}·\cos^2\alpha + \sin \alpha & (e^{i\delta}-1)\cos\alpha \sin\alpha \\
    (e^{i\delta}-1)\cos \alpha \sin\alpha & e^{i\delta}·\sin^2\alpha + \cos^2\alpha \\
    \end{array}
    \right)
    \end{array} \)
El vector de Jones de la Luz a la salida del sistema se calculará multiplicando las correspondientes matrices en el orden correcto, es decir:
    \( \displaystyle \sqrt{\frac{2·I_o}{4}}\left(
    \begin{array}{c}
    0 \\
    (e^{i\delta}-1)\cos \alpha \sin\alpha \\
    \end{array}
    \right) \)
Y la intensidad vendrá dada por:
    \( \displaystyle \frac{1}{2}·I_o·\cos^2 \alpha\sin^2\alpha (e^{i\delta} -1)(e^{-i\delta} -1) = \frac{I_o}{4}(\sin 2\alpha)^2(1-\cos \delta) \)
Para eliminar totalmente la raya de longitud de onda \( \lambda_2 \) hacemos en la anterior ecuación:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    1-\cos \delta_{\lambda_2} = 0 \Rightarrow \cos \delta_{\lambda_2} =1 \Rightarrow \\
     \\
    \Rightarrow 2m·\pi = \frac{2\pi}{\lambda_2}(\Delta n)·e \Rightarrow e = \left(\frac{m\lambda_2}{\Delta n}\right)
    \end{array} \)
Dónde para el cuarzo:
    \( \Delta n = n_e - n_o \simeq 0,01 \)
Si queremos además que la transmisión para la otra raya, \( \lambda_1 \), sea la máxima posible, entonces tendremos que poner en la ecuación anterior la condición:
    \( \sin 2\alpha = 1 \Rightarrow \alpha = 45º \)

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Página publicada por: José Antonio Hervás