PROBLEMAS RESUELTOS DE ÓPTICA
Sea el dispositivo interferencial de tipo Michelson de la figura,
que se tiene:
\( d_1-d_2 << D\:,\: h \:,\: d_1\: ,\: d_2 \)
Nótese que entre la lámina separadora L y la pantalla
P no se encuentra situada ninguna lente. Calcúlese:
a) la distribución de intensidades sobre P en una región
centrada en O de radio R. (\( R<< D\,,\, h \,,\, d_1\, ,\,
d_2 \)), ¿ qué aspecto presenta la figura de interferencias?¿Y
si \( d_1=d_2 \) ?
b) la posición de los máximos de la figura de interferencias
y la separación entre ellos. Ídem para \(d_1=d_2
\).
RESPUESTA DEL EJERCICIO 6
Los espejos de Michelson \( E_1 \quad y \quad E_2 \) imágenes
virtuales de F a una distancia \( D+d_{1,2} \) por detrás
de ellos. Situación se refleja en la figura inferior izquierda
y el sistema interferométrico es equivalente a representado
en la figura inferior derecha.
Las amplitudes procedentes de \( F_1 \quad y \quad F_2 \) sobre
P serán:
\( \displaystyle \begin{array}{l}
u_1 = \frac{1}{\sqrt{\rho^2+z^2}}·\exp ik\sqrt{\rho^2+z^2}
\\
\\
u_2 = \frac{1}{\sqrt{\rho^2+[z- 2(d_1-d_2)]^2}}·\exp
ik\sqrt{\rho^2+[z- 2(d_1-d_2)]^2}
\end{array} \)
Dónde:
\( z = D + 2·d_1 + h\quad ;\quad \rho^2 = x^2+y^2 \)
La amplitud total sobre P será:
Y la intensidad vendrá dada por:
\( I(\rho) = u_T·u_T^* = (u_1+u_2)(u_1^* + u_2^*) \)
Teniendo en cuenta que:
Y que:
Podemos escribir lo anterior:
\( \displaystyle I(\rho) = \frac{2}{z^2} + \frac{1}{z^2}\left(e^{ik\delta}+
e^{-ik\delta}\right)= \frac{2}{z^2}(1+\cos k\delta) \)
Ya que hemos hecho:
\( \displaystyle \frac{1}{\rho^2 + z^2} + \frac{1}{\rho^2 +
[z-2(d_1-d_2)]^2} \simeq \frac{1}{\rho^2 + z^2} + \frac{1}{\rho^2
+ z^2}\simeq \frac{2}{z^2} \)
Y dónde se tiene:
\( \delta = \sqrt{\rho^2 + z^2} - \sqrt{\rho^2 + [z-2(d_1-d_2)]^2}
\)
Desarrollando en serie esta última expresión nos
queda:
\( \displaystyle \begin{array}{l}
\delta \simeq \sqrt{\rho^2 + z^2} - \left[\sqrt{\rho^2 - z^2}
- \frac{2z(d_1-d_2)}{\sqrt{\rho^2 + z^2}} \right]= \frac{2z(d_1-d_2)}{\sqrt{\rho^2
+ z^2}}\simeq \\
\\
\simeq 2(d_1-d_2)\left[1 - \frac{1}{2}\left(\frac{\rho}{z^2}\right)^2\right]
\end{array} \)
Y sustituyendo en la expresión de I:
\( \displaystyle I(\rho) = \frac{2}{z^2}\left\{1 + \cos k\left\{2(d_1-d_2)\left[1
- \frac{1}{2}\left(\frac{\rho}{z^2}\right)^2\right]\right\}\right\}
\)
La figura de interferencias es un conjunto de círculos
concéntricos centrados en "O" y alternativamente
claros y oscuros. Sí \( d_1 = d_2\) tenemos:
\( \displaystyle I(\rho) = \frac{2}{z^2}(1+ \cos 0) = \frac{4}{z^2}=
Cte \)
Y esto es independiente de \( \rho \).
La condición para los máximos vendrá dada
por:
\( \displaystyle \begin{array}{c}
\cos k\left\{2(d_1-d_2)\left[1 - \frac{1}{2}·\left(\frac{\rho}{z}\right)^2\right]\right\}=
1 \\
\\
k\left\{2(d_1-d_2)\left[1 - \frac{1}{2}·\left(\frac{\rho}{z}\right)^2\right]\right\}=
2m· \pi
\end{array} \)
Con \( m=0,1,2,... \), de dónde nos queda:
\( \displaystyle \rho_\max = z \sqrt{2\left[1 - \frac{m\lambda}{2(d_1-d_2)}\right]}\quad
m=0,1,2,\cdots \)
La separación entre dos máximos (los de orden m
y m+1) será:
\( \displaystyle \triangle \rho_{m+1,m} = z\left\{\sqrt{2\left[1
- (m+1)·\frac{\lambda}{2(d_1-d_2)}\right]} -\sqrt{2\left[1
- m·\frac{\lambda}{2(d_1-d_2)}\right]} \right\} \)
La separación entre máximos depende del orden de
los mismos, ya que \( \Delta\rho \neq Cte. \)
