PROBLEMAS RESUELTOS
DE FÍSICA
ejercicios resueltos de mecánica cuántica y física atómica

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Ejercicios de Mecánica cuántica

Si

Respuesta del ejercicio 74
Las soluciones de la ecuación de Schrödinger para cada región serán:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    I.-\quad A·e^{-iK_1x} + B·e^{iK_1x}\quad ; \quad con \; K_1 = \frac{\sqrt{2mE}}{\hbar} \\
     \\
    II.-\quad C·e^{-iK_2x} + D·e^{iK_2x}\quad ; \quad con \; K_2 = \frac{\sqrt{2m(E-V_o)}}{\hbar}
    \end{array} \)
Puesto que en la zona I no hay nada que obligue a la partícula a volver hacia la derecha, eliminar de la primera ecuación de la onda y por tanto, B = 0. Tenemos entonces las condiciones de contorno:
    \( \begin{array}{l}
    \varphi_I(0) = \varphi_{II}(0) \Rightarrow A = C + D \\
     \\
    \varphi'_I(0) = \varphi'_{II}(0) \Rightarrow K_1A = K_2C + K_2D
    \end{array} \)
De dónde podemos encontrar C y D en función de A : Multiplicando la primera ecuación por \( K_2 \) y sumándole o restándole la segunda obtenemos:
    \( \displaystyle C = \frac{K_2+K_1}{2K_2}·A\quad ; \quad D = \frac{K_2-K_1}{2K_2}·A \)
Por lo que las soluciones de la ecuación de Schrödinger se podrán escribir:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    I.-\quad A·e^{-iK_1x} \\
     \\
    II.-\quad \frac{K_2+K_1}{2K_2}·A·e^{-iK_2x} + \frac{K_2-K_1}{2K_2}·A·e^{iK_2x}
    \end{array} \)
Subimos ahora que los coeficientes de transmisión y reflexión se definen respectivamente por las expresiones:
    \( \displaystyle T = \frac{V_I·A^*A}{V_{II}C^*C}\quad ; \quad T = \frac{V_I·D^*D}{V_{II}C^*C} \)
Siendo:
    \( \displaystyle V_I = \frac{\hbar K_1}{m}\quad;\quad V_{II} = \frac{\hbar K_2}{m} \)
Resulta entonces, de forma inmediata, sin más que sustituir valores:
    \( \displaystyle T = \frac{4K_1K_2}{(K_2+K_1)^2}\quad ; \quad R = \frac{(K_2-K_1)^2}{(K_2+K_1)^2} \)
Y para ver la relación entre ambos hacemos:
    \( \displaystyle T+R = \frac{4K_1K_2}{(K_2+K_1)^2} + \frac{(K_2-K_1)^2}{(K_2+K_1)^2} = \frac{K_2^2 +K_1^2+ 2·K_1K_2}{(K_2+K_1)^2} = 1 \)
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Página publicada por: José Antonio Hervás