Problemas sobre ecuaciones diferenciales
Obtener las singularidades de las siguientes ecuaciones diferenciales.
Obtener y resolver la ecuación indicial para todas las
singularidades regulares y escribir la forma de la solución
general:
\( \displaystyle \begin{array}{l}
(t-1)^2·x^{\prime\prime} + t·x^\prime + (t-1)x
= 0 \\
\\
x^{\prime\prime} + \frac{8}{3·t}·x^\prime - \frac{2}{3·t^2}·x
= 0
\end{array} \)
Respuesta al ejercicio 96
En la primera ecuación el punto \( t = 1\) es una singularidad
irregular puesto que tenemos:
\( \displaystyle x^{\prime\prime} + \frac{t}{(t-1)^2}·x^\prime
+ \frac{1}{t-1}·x = 0\; ; \;x^{\prime\prime} + a(t)·x^\prime
+ b(t)·x = 0 \)
Y la función \( a(t) \) tiene un polo de segundo orden
en \( t = 1\). Todos los demás puntos son ordinarios.
Puesto que se trata de un punto regular irregular no podemos decir
nada de la solución.
En la segunda ecuación el punto \( t = 0\) es singular
regular por ser un polo de orden 1 para \( a(t) \) y de orden
2 para \( b(t) \). Todos los demás puntos son ordinarios.
En este caso podemos ensayar una solución de la forma:
\( \displaystyle x = \sum C_n·t^{\lambda+n} \)
Sustituyendo en la ecuación diferencial:
\( \displaystyle \begin{array}{l}
\lambda(\lambda-1)·C_o·t^\lambda + (\lambda+1)C_1·t^{\lambda+1}
+(\lambda+2)(\lambda+1)C_2·t^{\lambda+2} + \cdots \\
\\
+ \frac{8}{3}\lambda·C_o·t^\lambda + \frac{8}{3}(\lambda+1)C_1·t^{\lambda+1}
+ \frac{8}{3}(\lambda+2)C_2·t^{\lambda+2} + \\
\\
+ \cdots + \frac{8}{3}(\lambda+n)C_nt^{\lambda+n} - \frac{2}{3}C_ot^\lambda
- \frac{2}{3}C_1t^{\lambda+1} - \frac{2}{3}C_2t^{\lambda+2}
- \cdots = 0\\
\end{array} \)
Dividendo todos los términos por \( t^\lambda \) e igualando
a cero los coeficientes de \( t^n \), con \( n = 0, 1, 2, ...
,\) , tenemos:
\( \displaystyle \lambda(\lambda-1)C_o + \frac{8}{3}\lambda·C_o
- \frac{2}{3}C_o = 0 \Rightarrow \left[\left(\lambda - \frac{1}{3}\right)(\lambda
- 2)\right]C_o = 0 \)
Y puesto que \( C_o \neq 0 \) tendremos como raíces de
la ecuación inicial \( \lambda = 1/3 , \lambda = -2 \)
cuya diferencia no es un número entero y, por tanto, nos
darán dos soluciones linealmente independientes.
Igualando a 0 el coeficiente de \( t^n \) resulta:
\( \displaystyle (\lambda + n)(\lambda + n-1)C_n + \frac{8}{3}(\lambda
+ n)C_n - \frac{2}{3}C_n = 0 \)
Y es evidente que para que ocurra así deberá ser
\( C_n = 0\) , por lo que tendremos:
\( x = A·t^{\lambda_1} + B·t^{\lambda_2} = A·t^{1/3}
+ B·t^{-2} \)