PROBLEMAS RESUELTOS
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ejercicios resueltos de ecuaciones diferenciales

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Ejercicios resueltos de Ecuaciones Diferenciales

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Problemas sobre ecuaciones diferenciales

Calcular fórmulas para las soluciones de las siguientes ecuaciones diferenciales.
    \( \displaystyle a) \quad \frac{dx}{dt} = x^2 - x \; , \; u(0) = 2 \qquad ; \qquad b)\quad \frac{dx}{dt} = x^3 \; , \;u(1) = -\frac{1}{3} \)
Obtener la solución que satisfaga la condición inicial dada, y especificar su intervalo definición.

Respuesta al ejercicio 67
La primera ecuación da:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    \frac{dx}{dt} = x^2 - x \Rightarrow \left(\frac{1}{x-1} - \frac{1}{x}\right)dx = dt \Rightarrow \\
    \\
    \Rightarrow \ln \frac{x-1}{x} = t + \ln C \Rightarrow x = \frac{1}{1 - C·e^t} \\
    \end{array} \)
Y para la solución particular:
    \( \displaystyle u(0) = 2 = \frac{1}{1-C}\Rightarrow C = \frac{1}{2} \Rightarrow u(t) = \frac{2}{2 - e^t}\quad , \quad con \; t \neq \ln 2 \)
La segunda ecuación nos da la solución constante \( x \equiv 0 \), y además:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    \frac{dx}{dt} = x^3 \Rightarrow - \frac{1}{x^2} = 2(t+K) \Rightarrow x^2 = - \frac{1}{2·t + 2·K} = \frac{1}{C - 2·t}\Rightarrow \\
    \\
    \Rightarrow x = \pm \frac{1}{\sqrt{C - 2·t}} \\
    \end{array} \)
Y para la solución particular:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    u(1) = - \frac{1}{3} = \pm \frac{1}{\sqrt{C - 2}}\Rightarrow \frac{1}{9} = \frac{1}{C-2} \Rightarrow C = 11 \rightarrow \\
    \\
    \Rightarrow u(t) = \pm \frac{1}{\sqrt{11 - 2}} \quad ,\quad con\; t < \frac{11}{2} \\
    \end{array} \)
Ejercicios resueltos - problemas resueltos
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
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Página publicada por: José Antonio Hervás