Problemas sobre ecuaciones diferenciales
Calcular fórmulas para las soluciones de las siguientes
ecuaciones diferenciales.
\( \displaystyle a) \quad \frac{dx}{dt} = x^2 - x \; , \; u(0)
= 2 \qquad ; \qquad b)\quad \frac{dx}{dt} = x^3 \; , \;u(1)
= -\frac{1}{3} \)
Obtener la solución que satisfaga la condición inicial
dada, y especificar su intervalo definición.
Respuesta al ejercicio 67
La primera ecuación da:
\( \displaystyle \begin{array}{l}
\frac{dx}{dt} = x^2 - x \Rightarrow \left(\frac{1}{x-1} - \frac{1}{x}\right)dx
= dt \Rightarrow \\
\\
\Rightarrow \ln \frac{x-1}{x} = t + \ln C \Rightarrow x = \frac{1}{1
- C·e^t} \\
\end{array} \)
Y para la solución particular:
\( \displaystyle u(0) = 2 = \frac{1}{1-C}\Rightarrow C = \frac{1}{2}
\Rightarrow u(t) = \frac{2}{2 - e^t}\quad , \quad con \; t \neq
\ln 2 \)
La segunda ecuación nos da la solución constante
\( x \equiv 0 \), y además:
\( \displaystyle \begin{array}{l}
\frac{dx}{dt} = x^3 \Rightarrow - \frac{1}{x^2} = 2(t+K) \Rightarrow
x^2 = - \frac{1}{2·t + 2·K} = \frac{1}{C - 2·t}\Rightarrow
\\
\\
\Rightarrow x = \pm \frac{1}{\sqrt{C - 2·t}} \\
\end{array} \)
Y para la solución particular:
\( \displaystyle \begin{array}{l}
u(1) = - \frac{1}{3} = \pm \frac{1}{\sqrt{C - 2}}\Rightarrow
\frac{1}{9} = \frac{1}{C-2} \Rightarrow C = 11 \rightarrow \\
\\
\Rightarrow u(t) = \pm \frac{1}{\sqrt{11 - 2}} \quad ,\quad
con\; t < \frac{11}{2} \\
\end{array} \)