Problemas sobre ecuaciones diferenciales
Sea \( f(x,y) \) una función continua \( \forall\quad x,y
\) probar que si la ecuación diferencial:
\( \displaystyle \frac{d^2x}{dt^2} = f\left(x \;,\; \frac{dx}{dt}\right)
\)
No tiene soluciones es constantes, tampoco tiene soluciones periódicas.
(una función \( u(t) \) es periódica si existe un
número positivo \( p \) tal que:
Para todo t).
Respuesta al ejercicio 62
En principio, podemos plantear que si fuera \( f(c,0) = 0\), entonces
\( u(t) = c\) una solución constante. En consecuencia,
y puesto que la ecuación diferencial dada no tiene soluciones
constantes, \( f(x,0) \) no se anula nunca, y cómo es continua
por hipótesis, será del mismo signo para todo x.
Si \( f(x,0) > 0\) ninguna solución tiene un máximo
relativo, puesto que:
\( u^\prime (t_o) = 0 \Rightarrow u^{\prime\prime}(t_o) = f[u(t_o)
, u^\prime(t_o)] = f[u(t_o) , 0] > 0 \)
Análogamente se demuestra que ninguna solución tiene
un mínimo relativo. Y puesto que una función periódica
tiene ambos, queda demostrado lo que nos proponíamos.