PROBLEMAS RESUELTOS
DE MATEMÁTICAS
ejercicios resueltos de ecuaciones diferenciales

Ver enunciado del ejercicio en:

Ejercicios resueltos de Ecuaciones Diferenciales

Estás en :
Matemáticas y Poesía >

Ejercicios resueltos

Problemas sobre ecuaciones diferenciales

Sea \( f(x,y) \) una función continua \( \forall\quad x,y \) probar que si la ecuación diferencial:
    \( \displaystyle \frac{d^2x}{dt^2} = f\left(x \;,\; \frac{dx}{dt}\right) \)
No tiene soluciones es constantes, tampoco tiene soluciones periódicas. (una función \( u(t) \) es periódica si existe un número positivo \( p \) tal que:
    \( u(t + p) = u(t)\)
Para todo t).

Respuesta al ejercicio 62
En principio, podemos plantear que si fuera \( f(c,0) = 0\), entonces \( u(t) = c\) una solución constante. En consecuencia, y puesto que la ecuación diferencial dada no tiene soluciones constantes, \( f(x,0) \) no se anula nunca, y cómo es continua por hipótesis, será del mismo signo para todo x.
Si \( f(x,0) > 0\) ninguna solución tiene un máximo relativo, puesto que:
    \( u^\prime (t_o) = 0 \Rightarrow u^{\prime\prime}(t_o) = f[u(t_o) , u^\prime(t_o)] = f[u(t_o) , 0] > 0 \)
Análogamente se demuestra que ninguna solución tiene un mínimo relativo. Y puesto que una función periódica tiene ambos, queda demostrado lo que nos proponíamos.
Ejercicios resueltos - problemas resueltos
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
Otros usuarios de Matemáticas y poesía también han visto:




Página publicada por: José Antonio Hervás