PROBLEMAS RESUELTOS
DE FÍSICA
ejercicios de física de semiconductores

Ver enunciado del ejercicio en:

Problemas de física de semiconductores

Estás en :
Matemáticas y Poesía >

Problemas resueltos

 

Ejercicios de física de semiconductores

En un diodo corto \( p^+n \) la densidad de átomos de impurezas \( N_d \) en la zona n es una función de la distancia x a partir de la unión.
a) demostrar que en régimen de baja inyección y V > 0 la concentración en exceso de huecos viene dada por:
    \( \displaystyle p'_n(x) = \frac{I}{q·A·D_p N_d(x)}\int_{x}^{w_n} N_d(x)dx \)
(cómo V > 0, latitud de la zona de transición es muy estrecha y puede despreciarse)
b) aplicar la expresión obtenida en (a) a la situación en que \( N_d(x) \) venga dada por:
    \( \displaystyle N_d(x) = N_d(0)·\exp\left(- \beta·\frac{x}{W_n}\right) \)
Dónde \( \beta \) es una constante y \(N_d(0)< <N_a\).
c) a partir del resultado obtenido en (b) representar graficamente:
    \( \displaystyle \frac{q·A·D_p·p'_n(x)}{I·W_n} \)
En función de \( x/W_n \) en los casos de tratarse de una unión abrupta (\( \beta= 0\)), y cuándo \( \beta= 6\). ¿ qué diodo, el de \( \beta= 0\) o el de \( \beta= 6\) , necesita mayor tensión de polarización para la misma corriente?.

Respuesta al ejercicio 64

Demostraremos el primer apartado a partir del concepto de velocidad de tránsito o velocidad media de los portadores minoritarios que en un semiconductor tipo N es:
    \( \displaystyle \vec{v}= \frac{\vec{J}_p}{q·p_n} \)
Por otro lado sabemos que las densidades de corriente de huecos y electrones en la región neutra N pueden expresarse por:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    J_p = q·\mu_p·p_n·\varepsilon - q·D_p·\nabla p_n = 0 \\
     \\
    J_n = q·\mu_n·n_n·\varepsilon - q·D_n·\nabla n_n = 0
    \end{array} \)
Para el caso de un diodo en el que el dopado de la región n no sea homogeneo existirá un gradiente de concentración de minoritarios, expresión que nos da la densidad de corriente de electrones nos permite escribir:
    \( \displaystyle \varepsilon = - \frac{D_n·\nabla n_n}{\mu_n·n_n}\Rightarrow J_p =- qD_n·\frac{\mu_p}{\mu_n}·\frac{\nabla n_n}{n_n}·p_n - qD_p·\nabla p_n \)
Y a partir de ahí resultará:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    \vec{v} = \frac{\vec{J}_p}{q·p_n}= - D_p·\frac{\nabla p_n}{p_n}- D_n·\frac{\mu_p}{\mu_n}·\frac{\nabla n_n}{n_n}= \\
     \\
    = -D_p\left(\frac{\nabla p_n}{p_n} +\frac{\nabla n_n}{n_n} \right)
    \end{array} \)
Dónde hemos utilizado las relaciones de Einstein:
    \( \displaystyle \frac{D_n}{\mu_n} = \frac{D_p}{\mu_p} = V_T \)
Por otra parte, neutralidad de la carga eléctrica en la región espacial exige que se cumpla:
    \( \displaystyle n_n(x) = N_d(x) + p_n(x) \Rightarrow \nabla n_n(x) = \nabla N_d(x) + \nabla p_n(x) \)
Por lo que sustituyendo estos valores en la expresión anterior tendremos:
    \( \displaystyle \frac{\vec{J}_p}{q·p_n}=- D_p \left(\frac{\nabla p_n}{p_n}+ \frac{\nabla N_d + \nabla p_n}{N_d + p_n}\right) \)
Puesto que hemos considerado que estamos en régimen de baja inyección y en la región activa (V>0), podemos hacer algunas simplificaciones:
    \( p_n << N_d \Rightarrow \nabla p_n << \nabla N_d \)
Y, en consecuencia:
    \( \displaystyle \frac{\vec{J}_p}{q·p_n}=- D_p \left(\frac{\nabla p_n}{p_n}+ \frac{\nabla N_d }{N_d }\right) \)
Suponiendo que la corriente de portadores es prácticamente una corriente de huecos tendremos \( I_p \simeq I \) por lo que la ecuación anterior puede escribirse en la forma:
    \( \displaystyle \frac{dp_n}{dx}+ \frac{p_n}{N_d}·\frac{dN_d}{dx} = - \frac{I}{q·A·D_p} \)
Para integrar esta ecuación lo hacemos antes con la homogenea, de la que resulta:
    \( \displaystyle \frac{dp_n}{dx}+ \frac{p_n}{N_d}·\frac{dN_d}{dx} = 0 \Rightarrow \frac{dp'_n}{dx}+ \frac{p'_n+ p_{n_o}}{N_d}·\frac{dN_d}{dx} = 0 \)
e integrando:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    \ln (p'_n + p_{n_o} + \ln N_d = \ln K \Rightarrow p'_n+ p_{n_o} = \frac{K}{N_d} \\
     \\
    p' = \frac{K}{N_d} - P_{n_o} = \frac{K}{N_d} - \frac{n_i^2}{N_d} = \frac{K'}{N_d}
    \end{array} \)
A partir de ahí, por el método de variación de constantes tenemos:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    K' = - \frac{I}{q·A·D_p}\int_{0}^{x}N_d(x)·dx + C \Rightarrow \\
     \\
    \Rightarrow p'(x) = \frac{C}{N_d}- \frac{I}{q·A·D_pN_d}\int_{0}^{x}N_d(x)·dx
    \end{array} \)
Como condición de contorno para determinar C podemos considerar que en la región activa se tiene \( p'_n(W_n)=0 \), con lo que resultará:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    p'(W_n)= 0 \Rightarrow \frac{C}{N_d}- \frac{I}{q·A·D_pN_d}\int_{0}^{W_n}N_d(x)·dx\Rightarrow \\
     \\
    \Rightarrow C = \frac{I}{q·A·D_p}\int_{0}^{W_n}N_d(x)·dx
    \end{array} \)
Y finalmente:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    p'_n(x) = \frac{I}{q·A·D_p}\int_{0}^{W_n}N_d(x)dx - \frac{I}{q·A·D_pN_d}\int_{0}^{x}N_d(x)dx = \\
     \\
    = \frac{I}{q·A·D_pN_d}\int_{x}^{W_n}N_d(x)dx
    \end{array} \)
Conociendo la concentración de impurezas podemos obtener \( p'(x) \). Así sí \( N_d(x)\) viene dada por la ecuación denunciado, tenemos:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    p'_n(x) = \frac{I}{q·A·D_pN_d}\int_{x}^{W_n}N_d(0)\exp \left(\frac{-\beta x}{W_n}\right)dx = \\
     \\
    = - \frac{I·W_n}{q·A·D_p \beta}\left\{\exp\left[\frac{\beta}{W_n}(x-W_n)\right]-1\right\}
    \end{array} \)
A partir del resultado anterior podemos poner:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    \frac{q·A·D_p·p'_n(x)}{I·W_n}= -\frac{1}{\beta}\left\{\exp\left[\frac{\beta}{W_n}(x-W_n)\right]-1\right\} \\
     \\
    = -\frac{1}{\beta}\left\{\exp\left[\beta\left(\frac{x}{W_n} - 1\right)\right]-1\right\}
    \end{array} \)
Si tomamos \(\beta = 0 \) resulta una expresión indeterminada que por aplicación de la regla de L'Hopital queda en la forma:
    \( \displaystyle \frac{q·A·D_p·p'_n(x)}{I·W_n} = 1 - \frac{x}{W_n}\)
Por lo que en la representación de esta función frente a \( x/W_n \) será una recta que pasa por los puntos (0,1) y (1,0).
Para el caso \( \beta = 6 \), tenemos:
    \( \displaystyle f\left(\frac{x}{W_n}\right) = \frac{qA·D_pp'_n(x)}{I·W_n}\Rightarrow 6f\left(\frac{x}{W_n}\right) =1 - \exp \left(\frac{x}{6W_n}- 1\right) \)

Por la representación gráfica será del tipo representado en la figura.

gráfica de la función


EJERCICIOS SEMICONDUCTORES

Otros usuarios de Matemáticas y poesía también han visto:




Página publicada por: José Antonio Hervás