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MONOGRAFIAS TÉCNICAS
ELECTRICIDAD

INTERACCIÓN ELÉCTRICA - LEY DE GAUSS

 
INTERACCIÓN ELÉCTRICA

CAPÍTULO 16.- LEY DE GAUSS EN FORMA DIFERENCIAL


Hemos visto que la ley de Gauss puede aplicarse a superficies de cualquier forma. Vamos a aplicarla a la superficie que rodea un volumen infinitesimal de aristas paralelas a los ejes XYZ. Los lados del elemento de volumen elemental son: dx, dy, dz. El área de la superficie ABCD es dy, dz, por lo tanto, según la expresión general, el flujo a través de ella será:



El flujo a través de la cara A'B'C'D* tiene una expresión similar pero es negativo porque el campo está dirigido hacia el interior del volumen. Se tiene por tanto:

cubo diferencial

y el flujo total o través de estas dos superficies será la suma:



Pero como la distancia A'A = dx entre las dos superficies es muy pequeña, la cantidad Ex – E’x es también muy pequeña y podemos escribir:



lo que nos permite expresar el flujo total en la dirección X como:



donde dV = dx.dy.dz es el volumen de la caja.

Como se obtienen resultados análogos para el flujo a través de las cuatro caras restantes del volumen elemental, el flujo total a través del mismo es:



Si la carga eléctrica dentro del elemento de volumen es dQ, según el teorema de Gauss se tiene:




Llamando ahora ρ a la densidad de carga eléctrica, se tiene: dQ = ρ•dV , y sustituyendo:




que es la ley de Gauss expresada en forma diferencial.

La expresión en el primer miembro de la ecuación anterior se llama divergencia de E (div E) , de modo que podemos poner:



y teniendo en cuenta las propiedades del vector simbólico nabla, se tiene:



Esta ecuación es una de las que eligió Maxwell para crear la teoría electromagnética.

El significado físico del teorema de Gauss en su forma diferencial es que relaciona el campo eléctrico E en un punto del espacio con la distribución de carga, expresada por ρ,en el mismo punto; es decir que expresa una relación local entro dos cantidades físicas. De ese modo podemos decir que las cargas eléctricas son las fuentes del campo eléctrico y que su distribución y magnitud determinan el campo eléctrico en cada punto del espacio.

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tema escrito por: José Antonio Hervás