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METODO
PARA EL CALCULO DE VALORES Y VECTORES PROPIOS DOMINANTES DE UNA MATRIZ
- PARTE III Si
P es la matriz de dimensión r x r que diagonaliza a S,tenemos
(42) :
2. Obtener la matriz  ,
multiplicando la matriz problema por  .
Aplicar el factor de escala.3. Calcular las matrices  y,
a partir de ellas, obtener la matriz  4. Determinar el valor del factor de convergencia, de acuerdo con la ecuación (49). 5. Si el valor del parámetro de convergencia es menor que la tolerancia establecida
En otro caso, Volver al paso 2. En
la práctica, el esquema expuesto, presenta dos deficiencias que
requieren su mejora :
Por una parte, aun en el caso de condiciones de convergencia favorables  ,debido
a los errores de redondeo, es difícil llegar a obtener una precisión
superior a la sexta cifra decimal con una implementación directa
del mismo.Por otra, cuando las condiciones de convergencia no son favorables, 
, el esquema no aprovecha adecuadamente la información ofrecida
por la evolución del factor de convergencia. El primero de los problemas queda resuelto con la introducción de un paso intermedio que mejora significativamente la precisión alcanzada mediante la corrección, cada cierto número de iteraciones, del grupo de vectores de iteración, multiplicándolo por un factor matricial deducido de la ecuación (25). La segunda cuestión puede solventarse pasando a extraer un número de valores propios para el que se tenga una velocidad de convergencia mas favorable. Así pues, un esquema más efectivo sería :
2. Obtener la matriz
multiplicando la matriz problema por .3. Calcular las matrices
y, a partir de ellas, obtener la matriz  4. Determinar el valor del factor de convergencia, de acuerdo con la ecuación (49). 5. Si el índice de iteración es múltiplo del parámetro de reiniciación,
5.2. Si a partir de un valor dado del índice de iteración, la velocidad de convergencia del proceso es menor que un límite dado,
En otro caso, 5.3. Tomar como siguiente grupo de vectores de iteración el resultado de la iteración anterior. 6. Aplicar el factor de escala. 7. Si el valor del parámetro de convergencia es menor que la tolerancia establecida,
En otro caso, Volver al paso 2. 
y dos parámetros auxiliares (su valor mínimo y su media
acumulada) en función del número de iteraciones, para
el problema de la extracción de un conjunto p de valores propios
de diversas matrices.ALGORITMO Comentario : Extracción de la matriz sigma que contiene los R valores propios de mayor módulo de una matriz arbitraria A, reiniciando cada q veces el grupo de vectores de iteración. INICIAR ALGORITMO 
Solicitar la matriz problema, A, de dimensión n Solicitar el
número de valores propios a extraer, R (con R << n)
Parámetro de tolerancia, (Tol) ; Valor límite
mínimo del índice de iteración para pasar a extraer
p-1 valores propios, (VL); Parámetro
de reiniciación, (q) Número
de ciclos de iteración, (CL) ; número
máximo de iteraciones, (MXI) Parámetro
de convergencia, (X) ; Valor mínimo
de X, (MN) Número
de iteraciones que se mantiene un mínimo local de X, (CMX) Suma acumulada
de X, (M) ; Valor medio de X, (MC) Matriz inicial
de iteración, (M0), formada por R vectores linealmente independientes. Matriz auxiliar
(Mi) para la extracción de la matriz Sigma que contiene los p
valores propios dominantes, formada por R vectores linealmente independientes. Valor inicial
de la matriz que contiene los p valores propios dominantes, (S) Listas para
el almacenamiento de los valores de X, MC y MN con objeto de su representación
gráfica frente al número de iteraciones, (TX), (TM), (TN)
INICIAR ITERACIÓN
Almacenar en la variable (Esc) el máximo de los valores absolutos
de los elementos de (M0), para aplicarlo como factor de escala para
evitar desbordamientos, Aplicar A sobre
M0 y almacenar el resultado en M1, Almacenar en
una variable auxiliar, SInt, el valor actual de la matriz S, Obtener el
valor de S por aplicación de la ecuación (27), Almacenar en
X el valor dado por la ecuación (30) Actualizar
los valores de M y MC, Si el valor
actual de X es menor que MN,
igualar MN a X, poner a 1 el contador CMX, En otro caso,
Si el índice
de iteración, I, es múltiplo de q, Reiniciar la
matriz de iteración, poniendo M0 = M1*Traspuesta[Base de Jordan
asociada a los valores propios de la matriz S, de acuerdo a la ecuación
(25), Actualizar
las listas para las gráficas de X, M y MN Si I es igual
o mayor que VL y el valor absoluto de la diferencia entre la cota actual
de MC y su valor en la (10*q)-ésima iteración anterior
es menor o igual que 0.01,Pasar a extraer p-1 valores propios En otro caso,
En otro caso,
Reasignar a M0 el valor dado por Esc * M0. Si MN se ha
mantenido mas de 125 iteraciones y el valor actual del parámetro
de convergencia, X, es menor que tol,
Marcar que se ha alcanzado la convergencia exigida Salir del proceso de iteración. En otro caso,
Si el índice
de iteración, I, es menor que MXI
En otro caso
CERRAR ITERACION
Representar gráficamente, frente al índice de iteración,
X, MC y MN Si se ha alcanzado
la convergencia exigida
En otro caso
(Opcionalmente) Calcular los valores propios de S e imprimirlos |
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[12].
Los algoritmos según los métodos de Lanczos y Arnoldi
están también basados en iteraciones sobre subespacios
de Krilov.
