METODO PARA EL CALCULO DE VALORES Y VECTORES PROPIOS DOMINANTES DE UNA MATRIZ - PARTE II

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Viene de PARTE I.

Análogamente, si consideramos la siguiente iteración y descomponemos, queda (22) :



La matriz depende únicamente de los vectores iniciales de iteración, que se han tomado linealmente independientes, por lo que podemos considerarla no singular para escribir (23) :



Lo que significa que es una matriz propia de A.

Para el cálculo de los vectores de Jordan asociados a los R valores propios de mayor módulo, tenemos (24) :

Y multiplicando a derecha por [α^T]^-1 (25) :



Por lo que da los vectores de Jordan buscados.

Los valores propios de la matriz dada en (23) y que llamamos matriz sigma, coinciden con los valores propios dominantes de la matriz inicial.

La matriz sigma puede obtenerse sin más que considerar una matriz arbitraria V de la misma dimensión que , puesto que, teniendo en cuenta (23), podemos hacer (26) :

Y de ahí obtener mediante (27) :

lo cual siempre es posible al haber elegido V arbitraria.

Queda así resuelto el problema de extracción de los R valores propios de mayor módulo de una matriz y sus vectores propios correspondientes.

Una variante sobre el algoritmo anterior puede hacerse considerando un solo vector de iteración para obtener una base de Krilov del subespacio dominante [13].

Sea v vector cualquiera de dimensión n y supongamos que A posee n vectores propios. Podemos expresar v como combinación lineal de dichos vectores propios (28) :

Si aplicamos p veces la matriz A sobre el vector v, obtenemos (29) :

Cada uno de estos vectores propios, q_i, puede expresarse en función de los vectores de la base canónica, lo cual nos permite escribir (30) :



Consideramos entonces r iteracciones, a partir de una p-ésima dada, para escribir la matriz de dimensión nxr (31) :



Teniendo en cuenta la hipótesis dada en (2) podemos aproximar los elementos de (31) para escribir (32) :



Y esta matriz puede descomponerse en la forma (33) :



De estos tres factores, con dimensiones respectivas nxr, rxr y rxr, el de la derecha es una matriz de Vandermonde [12] con determinante distinto de cero, siempre que todos los λ_i sean distintos entre si, el central es una matriz diagonal cuyos elementos dependen de los λ_i (todos ellos estrictamente superiores a cero) y de los α_i que a su vez dependen del vector elegido para la iteracción y que por tanto pueden elegirse distintos de cero, y el de la izquierda es la matriz de los coeficientes de los r vectores propios asociados a los r valores propios dominantes, que tiene rango r lo que significa que existe al menos un bloque de dimensión rxr en (33) que es NO SINGULAR.

Obtengamos ahora la siguiente iteración (34) :



Que puede también descomponerse en la forma (35) :



Una comparación entre las dos matrices de la derecha en (33) y (35) nos permite escribir (36) :


donde (37) :

es la llamada matriz de Frobenius, o "companion matrix" [14],para la que se cumple que (38)



es su polinomio característico .

Por todo ello (34) quedará (39) :



Y es una matriz propia de A

Si premultiplicamos la anterior expresión por obtenemos (40) :



Y por tanto (41) :



Ya que, según [15], la inversa indicada siempre existe .

Para el cálculo de los vectores propios asociados a los r valores propios dominantes, tomamos la ecuación (39) donde A es de dimensión n x n, M es de dimensión n x r, y S es de dimensión rxr y tiene la forma dada en (37).

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