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| METODO
PARA EL CALCULO DE VALORES Y VECTORES PROPIOS DOMINANTES DE UNA MATRIZ -
PARTE II Continía en PARTE III - PARTE IV Viene de PARTE I. Análogamente, si consideramos la siguiente iteración y descomponemos, queda (22) : 
La matriz  depende
únicamente de los vectores iniciales de iteración, que se
han tomado linealmente independientes, por lo que podemos considerarla no
singular para escribir (23) : Lo que significa que  es
una matriz propia de A.Para el cálculo de los vectores de Jordan asociados a los R valores propios de mayor módulo, tenemos (24) :  Y multiplicando a derecha por  (25)
:  Por lo que  da
los vectores de Jordan buscados.Los valores propios de la matriz dada en (23) y que llamamos matriz sigma, coinciden con los valores propios dominantes de la matriz inicial. La matriz sigma puede obtenerse sin más que considerar una matriz arbitraria V de la misma dimensión que , puesto que, teniendo en cuenta (23), podemos hacer (26) :  Y de ahí obtener mediante (27) :  lo cual siempre es posible al haber elegido V arbitraria. Queda así resuelto el problema de extracción de los R valores propios de mayor módulo de una matriz y sus vectores propios correspondientes. Una variante sobre el algoritmo anterior puede hacerse considerando un solo vector de iteración para obtener una base de Krilov del subespacio dominante [13]. Sea v vector cualquiera de dimensión n y supongamos que A posee n vectores propios. Podemos expresar v como combinación lineal de dichos vectores propios (28) :  Si aplicamos p veces la matriz A sobre el vector v, obtenemos (29) :  Cada uno de estos vectores propios, qi, puede expresarse en función de los vectores de la base canónica, lo cual nos permite escribir (30) :  Consideramos entonces r iteracciones, a partir de una p-ésima dada, para escribir la matriz de dimensión nxr (31) :  Teniendo en cuenta la hipótesis dada en (2) podemos aproximar los elementos de (31) para escribir (32) :  Y esta matriz puede descomponerse en la forma (33) :  De estos tres factores, con dimensiones respectivas nxr, rxr y rxr, el de la derecha es una matriz de Vandermonde [12] con determinante distinto de cero, siempre que todos los 
sean distintos entre si, el central es una matriz diagonal cuyos elementos
dependen de los
(todos ellos estrictamente superiores a cero) y de los  que
a su vez dependen del vector elegido para la iteracción y que por
tanto pueden elegirse distintos de cero, y el de la izquierda es la matriz
de los coeficientes de los r vectores propios asociados a los r valores
propios dominantes, que tiene rango r lo que significa que existe al menos
un bloque de dimensión rxr en (33) que es NO SINGULAR.Obtengamos ahora la siguiente iteración  (34)
: Que puede también descomponerse en la forma (35) :  Una comparación entre las dos matrices de la derecha en (33) y (35) nos permite escribir (36) :  donde (37) : es la llamada matriz de Frobenius, o "companion matrix" [14],para la que se cumple que (38) 
es su polinomio característico . Por todo ello (34) quedará (39) :  Y  es
una matriz propia de ASi premultiplicamos la anterior expresión por  obtenemos
(40) : Y por tanto (41) :  Ya que, según [15], la inversa indicada siempre existe . Para el cálculo de los vectores propios asociados a los r valores propios dominantes, tomamos la ecuación (39) donde A es de dimensión n x n, M es de dimensión n x r, y S es de dimensión rxr y tiene la forma dada en (37). Continuar leyendo en ... PARTE I - PARTE III - PARTE IV |
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