MATRICES SIGMA.

Para centrar el objeto de nuestro estudio, comenzamos definiendo una matriz sigma. Dada la dualidad existente entre las filas y las columnas de una matriz cuadrada, en lo que respecta al determinante de ésta, los resultados que obtengamos para una matriz sigma por columnas serán aplicables a una matriz sigma por filas.

DEFINICIONES Y PROPIEDADES

Definición 1.- Sea A una matriz nxn, cuyos elementos son polinomios en una o varias indeterminadas (que en todo caso denominaremos simplemente por x) y que puede escribirse en la forma (1)


donde A_ij(x) son matrices cuadradas de orden r, con r x s = n.
Diremos que A(x) es una matriz sigma,por columnas, de grado r, (o, simplemente, matriz sigma) si podemos tomar en ella s sumas equivalentes de la forma (2):

siendo una matriz cuadrada de orden r sin ninguna restricción adicional.

Definición 2.- Sea A una matriz de dimensión n x n. Diremos que una matriz de dimensión n x r, denotada M_r es una matriz propia de A, asociada al factor propio , de dimensión r x r, si se cumple (3):



siendo una matriz cuadrada cualquiera.

Según [1] , una ecuación como (3) implica que todos los valores propios de son valores propios de A.
Está claro que si r = 1, la anterior definición es equivalente a la de vector propio y valor propio,ya que todo escalar conmuta con cualquier matriz.

Definición 3.- Diremos que una matriz cuadrada es r-diagonal si todos sus elementos, salvo tal vez los formados por submatrices cuadradas de orden r, que se situan a lo largo de su diagonal principal, son nulos.

Lema 1.- Una matriz r-diagonal será singular sii lo es alguna de las submatrices que la forman.
Demostración.- Para que una matriz cuadrada A sea singular, es condición necesaria y suficiente que se tenga det A = 0, pero sabemos que para una matriz diagonal por bloques, como es el caso de una matriz r-diagonal, se cumple [2] (4):



por lo tanto, si det A_ii = 0, para algún i, resulta det A = 0, y queda demostrado lo que nos proponíamos.

TEOREMA 1

.- Si una matriz de dimensión n x n, con n = r x s, tiene una matriz propia de dimensión n x r, entonces existe una matriz particularmente sencilla que por una transformación de semejanza convierte a la matriz A en una matriz de tipo sigma.
Si la matriz propia no tiene componentes singulares, la matriz de transformación es r-diagonal y se obtiene directamente de aquella.
Demostración.- Según la definición 2 podemos escribir (5):



donde B es una matriz propia de A y su factor propio asociado. Tomando traspuestas resulta (6) :



y desarrollando (7):



Si la matriz propia no tiene componentes singulares, podemos multiplicar a derecha por las inversas respectivas de (8)



para obtener (9):



Los miembros izquierdos de este sistema de ecuaciones pueden agruparse en la forma (10) :



de la que se deduce (11) :



Por lo tanto, cuando la matriz propia no tiene componentes singulares, la matriz de transformación es r-diagonal.
Si la matriz propia tiene componentes singulares podemos considerar una matriz de transformación que cumpla (12) :



Para algún B_k singular, la matriz C mas sencilla que cumpla las propiedades requeridas será de la forma (13):



Con F_j no singular en la posición de C_jj ; B_j - F_j en la posición de Cjs y nulos todos los elementos no señalados fuera de la r-diagonal principal.

Teniendo en cuenta que la matriz inversa de C se obtiene invirtiendo cada una de las submatrices de la r-diagonal principal.

y colocando el elemento -B^-1(B_j - F_j)F_j^-1 en la posición de C_js tendremos que los elementos de la matriz (14) :



cumplen :
a) Para todas las columnas distintas de la j-ésima (15) :



b) Para la columna j-ésima (16) :



Deshaciendo paréntesis y reagrupando términos nos queda (17) :



Puesto que (B₁^T, ..., B_s^T)^T es una matriz propia de A, los términos resultantes quedarán (18):



y con este resultado queda demostrado lo que nos proponíamos.

TEOREMA 2

Sea A(x) una matriz polinomial de dimensión n x n, es decir, una matriz cuyos elementos son polinomios en una indeterminada x. Si se cumple que A(x) es un elemento del conjunto de las matrices sigma de orden r,, entonces el determinante de A(x) puede descomponerse en la forma (19):



siendo una matriz cuadrada de dimensión r x r obtenida de acuerdo con la definición 1, y C una matriz cuadrada de dimensión (n-r)x(n-r) de la forma (20):



donde j es un índice que varía entre 1 y s, con s = n/r

La demostración de este teorema y otros resultados en el artículo titulado:

MATRICES SIGMA. CONTINUACIÓN