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MONOGRAFIAS MATEMÁTICAS
TEORÍA MATRICIAL

MATRICES SIGMA

 

CARACTERIZACIÓN Y PROPIEDADES DE LAS MATRICES SIGMA.

Para centrar el objeto de nuestro estudio, comenzamos definiendo una matriz sigma. Dada la dualidad existente entre las filas y las columnas de una matriz cuadrada, en lo que respecta al determinante de ésta, los resultados que obtengamos para una matriz sigma por columnas serán aplicables a una matriz sigma por filas.

DEFINICIONES Y PROPIEDADES

Definición 1.- Sea A una matriz nxn, cuyos elementos son polinomios en una o varias indeterminadas (que en todo caso denominaremos simplemente por x) y que puede escribirse en la forma (1)

Matrices sigma. Teoria
donde Aij(x) son matrices cuadradas de orden r, con r x s = n.
Diremos que A(x) es una matriz sigma,por columnas, de grado r, Matrices sigma. Teoria(o, simplemente, matriz sigma) si podemos tomar en ella s sumas equivalentes de la forma (2):
Matrices sigma. Teoria
siendo σr una matriz cuadrada de orden r sin ninguna restricción adicional.

Definición 2.- Sea A una matriz de dimensión n x n. Diremos que una matriz de dimensión n x r, denotada Mr es una matriz propia de A, asociada al factor propio σr , de dimensión r x r, si se cumple (3):

Matrices sigma. Teoria

siendo una matriz cuadrada cualquiera.

Según [1] , una ecuación como (3) implica que todos los valores propios de σr son valores propios de A.
Está claro que si r = 1, la anterior definición es equivalente a la de vector propio y valor propio,ya que todo escalar conmuta con cualquier matriz.

Definición 3.- Diremos que una matriz cuadrada es r-diagonal si todos sus elementos, salvo tal vez los formados por submatrices cuadradas de orden r, que se situan a lo largo de su diagonal principal, son nulos.

Lema 1.- Una matriz r-diagonal será singular sii lo es alguna de las submatrices que la forman.
Demostración.- Para que una matriz cuadrada A sea singular, es condición necesaria y suficiente que se tenga det A = 0, pero sabemos que para una matriz diagonal por bloques, como es el caso de una matriz r-diagonal, se cumple [2] (4):

Matrices sigma. Teoria

por lo tanto, si det Aii = 0, para algún i, resulta det A = 0, y queda demostrado lo que nos proponíamos.

TEOREMA 1

.- Si una matriz de dimensión n x n, con n = r x s, tiene una matriz propia de dimensión n x r, entonces existe una matriz particularmente sencilla que por una transformación de semejanza convierte a la matriz A en una matriz de tipo sigma.
Si la matriz propia no tiene componentes singulares, la matriz de transformación es r-diagonal y se obtiene directamente de aquella.
Demostración.- Según la definición 2 podemos escribir (5):

Matrices sigma. Teoria

donde B es una matriz propia de A y σr su factor propio asociado. Tomando traspuestas resulta (6) :

Matrices sigma. Teoria

y desarrollando (7):

Matrices sigma. Teoria

Si la matriz propia no tiene componentes singulares, podemos multiplicar a derecha por las inversas respectivas de (8)

Matrices sigma. Teoria

para obtener (9):

Matrices sigma. Teoria

Los miembros izquierdos de este sistema de ecuaciones pueden agruparse en la forma (10) :

Matrices sigma. Teoria

de la que se deduce (11) :

Matrices sigma. Teoria

Por lo tanto, cuando la matriz propia no tiene componentes singulares, la matriz de transformación es r-diagonal.
Si la matriz propia tiene componentes singulares podemos considerar una matriz de transformación que cumpla (12) :

Matrices sigma. Teoria

Para algún Bk singular, la matriz C mas sencilla que cumpla las propiedades requeridas será de la forma (13):

Matrices sigma. Teoria

Con Fj no singular en la posición de Cjj ; Bj - Fj en la posición de Cjs y nulos todos los elementos no señalados fuera de la r-diagonal principal.

Teniendo en cuenta que la matriz inversa de C se obtiene invirtiendo cada una de las submatrices de la r-diagonal principal.

y colocando el elemento -B-1(Bj - Fj)Fj-1 en la posición de Cjs tendremos que los elementos de la matriz (14) :

Matrices sigma. Teoria

cumplen :
a) Para todas las columnas distintas de la j-ésima (15) :

Matrices sigma. Teoria

b) Para la columna j-ésima (16) :

Matrices sigma. Teoria

Deshaciendo paréntesis y reagrupando términos nos queda (17) :

Matrices sigma. Teoria

Puesto que (B1T, ..., BsT)T es una matriz propia de A, los términos resultantes quedarán (18):

Matrices sigma. Teoria

y con este resultado queda demostrado lo que nos proponíamos.

En el siguiente capítulo varios teoremas esenciales relativos a las matrices sigma, entre ellos el que permite deducir una descomposición de la forma:


Teoria sobre matrices Sigma

MATRICES SIGMA. CONTINUACIÓN

 

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tema escrito por: José Antonio Hervás