MATRICES
SIGMA.
Para
centrar el objeto de nuestro estudio, comenzamos definiendo
una matriz sigma. Dada la dualidad existente entre las filas
y las columnas de una matriz cuadrada, en lo que respecta al
determinante de ésta, los resultados que obtengamos para
una matriz sigma por columnas serán aplicables a una
matriz sigma por filas.
DEFINICIONES Y PROPIEDADES
Definición 1.-
Sea A una matriz nxn, cuyos elementos son polinomios en una
o varias indeterminadas (que en todo caso denominaremos simplemente
por x) y que puede escribirse en la forma (1)
donde Aij(x) son matrices cuadradas de orden r, con
r x s = n.
Diremos que A(x) es una matriz sigma,por columnas, de grado
r, 
(o,
simplemente, matriz sigma) si podemos tomar en ella s sumas
equivalentes de la forma (2):
siendo σr una matriz cuadrada de orden r sin
ninguna restricción adicional.
Definición 2.-
Sea A una matriz de dimensión n x n. Diremos que una
matriz de dimensión n x r, denotada Mr es
una matriz propia de A, asociada al factor propio σr
, de dimensión r x r, si se cumple (3):
siendo una matriz cuadrada cualquiera.
Según [1] , una ecuación como (3) implica que
todos los valores propios de σr son valores
propios de A.
Está claro que si r = 1, la anterior definición
es equivalente a la de vector propio y valor propio,ya que todo
escalar conmuta con cualquier matriz.
Definición 3.-
Diremos que una matriz cuadrada es r-diagonal si todos sus elementos,
salvo tal vez los formados por submatrices cuadradas de orden
r, que se situan a lo largo de su diagonal principal, son nulos.
Lema 1.-
Una matriz r-diagonal será singular sii lo es alguna
de las submatrices que la forman.
Demostración.- Para que una matriz cuadrada A sea singular,
es condición necesaria y suficiente que se tenga det
A = 0, pero sabemos que para una matriz diagonal por bloques,
como es el caso de una matriz r-diagonal, se cumple [2] (4):
por lo tanto, si det Aii = 0, para algún i,
resulta det A = 0, y queda demostrado lo que nos proponíamos.
TEOREMA 1
.- Si una matriz de dimensión n x n, con n = r x s, tiene
una matriz propia de dimensión n x r, entonces existe
una matriz particularmente sencilla que por una transformación
de semejanza convierte a la matriz A en una matriz de tipo sigma.
Si la matriz propia no tiene componentes singulares, la matriz
de transformación es r-diagonal y se obtiene directamente
de aquella.
Demostración.- Según la definición 2 podemos
escribir (5):
donde B es una matriz propia de A y σr su factor
propio asociado. Tomando traspuestas resulta (6) :
y desarrollando (7):
Si la matriz propia no tiene componentes singulares, podemos
multiplicar a derecha por las inversas respectivas de (8)
para obtener (9):
Los miembros izquierdos de este sistema de ecuaciones pueden
agruparse en la forma (10) :
de la que se deduce (11) :
Por lo tanto, cuando la matriz propia no tiene componentes singulares,
la matriz de transformación es r-diagonal.
Si la matriz propia tiene componentes singulares podemos considerar
una matriz de transformación que cumpla (12) :
Para algún Bk singular, la matriz C mas sencilla
que cumpla las propiedades requeridas será de la forma
(13):
Con Fj no singular en la posición de Cjj
; Bj - Fj en la posición de Cjs
y nulos todos los elementos no señalados fuera de la
r-diagonal principal.
Teniendo en cuenta que la matriz inversa de C se obtiene invirtiendo
cada una de las submatrices de la r-diagonal principal.
y colocando el elemento -B-1(Bj - Fj)Fj-1
en la posición de Cjs tendremos que los elementos
de la matriz (14) :
cumplen :
a) Para todas las columnas distintas de la j-ésima (15)
:
b) Para la columna j-ésima (16) :
Deshaciendo paréntesis y reagrupando términos
nos queda (17) :
Puesto que (B1T, ..., BsT)T
es una matriz propia de A, los términos resultantes quedarán
(18):
y con este resultado queda demostrado lo que nos proponíamos.
En el siguiente capítulo varios teoremas esenciales relativos
a las matrices sigma, entre ellos el que permite deducir una
descomposición de la forma:
MATRICES SIGMA. CONTINUACIÓN
