MATRICES SIGMA.
CONTINUACIÓN
Este artículo es la continuación del titulado:
MATRICES
SIGMA.
TEOREMA 2
Sea A(x) una matriz polinomial de dimensión n x n,
es decir, una matriz cuyos elementos son polinomios en una
indeterminada x. Si se cumple que A(x) es un elemento del
conjunto de las matrices sigma de orden r,
,
entonces el determinante de A(x) puede descomponerse en
la forma (19):
siendo una matriz cuadrada de dimensión r x r obtenida
de acuerdo con la definición 1, y C una matriz cuadrada
de dimensión (n-r)x(n-r) de la forma (20):
donde j es un índice que varía entre 1 y s,
con s = n/r
Demostración.-
Puesto que se tiene (21):
escribimos n/r = s y la subdividimos en bloques de dimensión
r. De ese modo (22):
y, por hipótesis, se cumple (23):
Tomamos entonces la matriz (24):
De dimensión n x n con bloques de dimensión
r x r, y realizamos el producto matricial (25) :
Con lo que resulta (26) :
Y desarrollando por la regla de Laplace (27) :
O lo que es igual (28) :
Finalmente, si en vez de tomar W como en (25) donde la columna
1ª estaba formada por matrices unidad, la tomamos de
modo que la fila k-ésima sea la formada por matrices
unidad, tenemos el resultado que pretendíamos.
El teorema puede generalizarse al caso en que A(x) sea una
matriz de elementos que dependan de varias variables.
Ejemplo.- El polinomio característico de una matriz
de la forma
Viene dado por :
Definición 4.- Diremos que una matriz cuadrada es
bi-sigma si es a la vez sigma por filas y sigma por columnas.
TEOREMA 3
Una matriz cuadrada solo puede ser bi-sigma para el mismo
valor de σr .
Demostración.- Supongamos que existen dos valores
distintos 
tales que (29) :
Con s = n/r.
Sumando las s primeras ecuaciones tenemos (30) :
Y el teorema queda demostrado.
Resulta trivial comprobar que el conjunto de las matrices
tiene estructura de grupo para la suma de matrices; pero
también sigue manteniendo la estructura de anillo
para la suma y el producto de matrices cuadradas, ya que
se cumple el siguiente teorema :
TEOREMA 4
El producto de matrices 
es otra matriz
, respectivamente.
Demostración.- Sean (31) :
Desarrollando el producto por bloques de orden r, tenemos
para la columna k-ésima del producto (32) :
Es decir (33) :
Y operando (34) :
y como la columna k-ésima es genérica, podemos
decir que está demostrado lo que nos proponíamos.
TEOREMA 5
La inversa de una matriz regular
es una matriz regular
Demostración.- Si
es regular, existirá una matriz B que nos permite
escribir (35):
y tenemos (36) :
Pero como
es una matriz sigma, se cumplirá (37)
y a partir de ahí (38) :
con lo que el teorema queda demostrado.
Ejemplo .- (pg 248, Matrix Computations; G.H. Golub, CH.F.
Van Loan). En la matriz (39) :
todas las filas suman el valor 2. Aplicando el teorema 2,
resulta (40)
En la matriz resultante vuelve a cumplirse que todas las
filas suman el valor 2, por lo que podemos aplicar de nuevo
el teorema 2 para obtener (41) :
En este caso resulta una matriz triangular por bloques,
uno de los cuales tiene un solo valor propio que es 2, y
el otro resulta ser de nuevo una matriz sigma por filas
(42) :
A la que le aplicamos el teorema 2 para obtener (43) :
Que también es una matriz sigma por filas con valor
propio 2 y que reducida da (44) :
Que de nuevo es otra matriz sigma por filas pero ahora con
el valor propio 3, y que reducida nos queda (45) :
Que es una matriz triangular por bloques con uno de ellos
de valor propio 3 y otro con la estructura de una matriz
sigma por filas con valor propio 3 y dada por (46) :
Que una vez reducida da como resultante otra matriz sigma
por filas con valor propio 3 y matriz reducida 1, que sería
el último valor propio resultante (47) :
Resumiendo, hemos obtenido el espectro de valores propios
:
{ 2 , 2 , 2 , 2 , 2 , 3 , 3 , 3 , 3 , 1 }
BIBLIOGRAFIA
Golub-Van Loan, Matrix computations, The Johns Hopkins Press.
T.M. Apostol, Cálculus, pg 102 y sgts. Ed Reverté
R. Bellman, Introducción al análisis matricial,
pgs 250 y sgts. Ed Reverté
Horn, Roger A., Matrix analysis, pg 26. Ed Cambridge University
Press .
