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MONOGRAFIAS MATEMÁTICAS
TEORÍA MATRICIAL

PROPIEDADES DE LAS MATRICES SIGMA

 

MATRICES SIGMA. CONTINUACIÓN - EJEMPLOS

Este artículo es la continuación del titulado: MATRICES SIGMA.

TEOREMA 2

Sea A(x) una matriz polinomial de dimensión n x n, es decir, una matriz cuyos elementos son polinomios en una indeterminada x. Si se cumple que A(x) es un elemento del conjunto de las matrices sigma de orden r,\(A_{\Sigma(r)}\) , entonces el determinante de A(x) puede descomponerse en la forma (19):

    \(|A(x)| = |\sigma_r(x)||C(x)| \)
siendo una matriz cuadrada de dimensión r x r obtenida de acuerdo con la definición 1, y C una matriz cuadrada de dimensión (n-r)x(n-r) de la forma (20):
    \( \left( \begin{array}{cccccc} A_{1,1}- A_{1,j} & \cdots & A_{1,j-1}- A_{1,j} & A_{1,j+1}- A_{1,j} & \cdots & A_{1,s}- A_{1,j} \\ \cdots & . & \cdots & . & \cdots & \cdots \\ A_{j-1,1}- A_{j-1,j} & \cdots & A_{j-1,j-1}- A_{j-1,j} & A_{j-1,j+1}- A_{j-1,j} & \cdots & A_{j-1,s}- A_{j-1,j} \\ A_{j+1,1}- A_{j+1,j} & \cdots & A_{j+1,j-1}- A_{j+1,j} & A_{j+1,j+1}- A_{j+1,j} & \cdots & A_{j+1,s}- A_{j+1,j} \\ \cdots & . & \cdots & . & \cdots & \cdots \\ A_{s,1}- A_{s,j} & \cdots & A_{s,j-1}- A_{s,j} & A_{s,j+1}- A_{s,j} & \cdots & A_{s,s}- A_{s,j} \\ \end{array} \right) \)
donde j es un índice que varía entre 1 y s, con s = n/r

Demostración.- Puesto que se tiene (21):
    \(A(x) \in C[A_{\Sigma(r)}] \)
escribimos n/r = s y la subdividimos en bloques de dimensión r. De ese modo (22):
    \( A(x) = \left[ \begin{array}{ccc} A_{11}(x) & \cdots & A_{1s}(x) \\ . & \cdots & . \\ A_{s1}(x) & \cdots & A_{ss}(x) \\ \end{array} \right] \)
y, por hipótesis, se cumple (23):
    \( \displaystyle \forall \; j (j=1,...,s)\sum_{i=1}^s A_{ij}(x) = \sigma_r(x) = \left( \begin{array}{ccc} \sigma_{11}(x) & \cdots & \sigma_{1r}(x) \\ . & \cdots & . \\ \sigma_{r1}(x) & \cdots & \sigma_{rr}(x) \\ \end{array} \right) \)
Tomamos entonces la matriz (24):
    \( W = \left( \begin{array}{cccc} I & 0 & \cdots & 0 \\ I & I & \cdots & 0 \\ . & . & \cdots & . \\ I & 0 & \cdots & I \\ \end{array} \right) \)
De dimensión n x n con bloques de dimensión r x r, y realizamos el producto matricial (25) :
    \([W^{-1}·A^T·W]^T \)
Con lo que resulta (26) :
    \(|A(x)|= |[W^{-1}A^TW]^T| = \left| \begin{array}{cccc} \sigma_r(x) & 0 & . & 0 \\ A_{21}(x) & A_{22}(x)-A_{21}(x) & . & A_{2s}(x)-A_{21}(x) \\ . & . & . & . \\ A_{s1}(x) & A_{s2}(x)-A_{s1}(x) & . & A_{ss}(x)-A_{s1}(x) \\ \end{array} \right| \)
Y desarrollando por la regla de Laplace (27) :
    \( |A(x)|= |\sigma_r(x)| = \left| \begin{array}{ccc} A_{22}(x)-A_{21}(x) & . & A_{2s}(x)-A_{21}(x) \\ . & . & . \\ A_{s2}(x)-A_{s1}(x) & . & A_{ss}(x)-A_{s1}(x) \\ \end{array} \right| \)
O lo que es igual (28) :
    \( |A(x)| = |\Sigma_r(x)||C(x)| \)
Finalmente, si en vez de tomar W como en (25) donde la columna 1ª estaba formada por matrices unidad, la tomamos de modo que la fila k-ésima sea la formada por matrices unidad, tenemos el resultado que pretendíamos.
El teorema puede generalizarse al caso en que A(x) sea una matriz de elementos que dependan de varias variables.

Ejemplo.- El polinomio característico de una matriz de la forma
    \(M = \left(
    \begin{array}{cc}
    A & B \\ B & A \\
    \end{array}
    \right) \)
Viene dado por :
    \( P(M) = |(A+B)- \lambda·I|·|(A-B)- \lambda·I| \)
Definición 4.- Diremos que una matriz cuadrada es bi-sigma si es a la vez sigma por filas y sigma por columnas.

TEOREMA 3

Una matriz cuadrada solo puede ser bi-sigma para el mismo valor de \(\sigma_r\) .
Demostración.- Supongamos que existen dos valores distintos \(\sigma_{r1}\; y \;\sigma_{r2}\) tales que (29) :
    \( \begin{array}{c} A_{11} + ... + A_{1s} = \sigma_{r1} \\ . . . . . . . \\ A_{s1} + ... + A_{ss} = \sigma_{r1} \\ - - - - - - - - - \\ A_{11} + ... + A_{s1} = \sigma_{r2} \\ . . . . . . . \\ A_{1s} + ... + A_{ss} = \sigma_{r2} \end{array} \)
Con s = n/r.

Sumando las s primeras ecuaciones tenemos (30) :
    \(\sigma_{r2} + ... + \sigma_{r2} \equiv s\sigma_{r2}= s\sigma_{r1} \rightarrow \sigma_{r2} = \sigma_{r1} \)
Y el teorema queda demostrado.

Resulta trivial comprobar que el conjunto de las matrices\(A_{\Sigma(r)}\) tiene estructura de grupo para la suma de matrices; pero también sigue manteniendo la estructura de anillo para la suma y el producto de matrices cuadradas, ya que se cumple el siguiente teorema :

TEOREMA 4

El producto de matrices \(A_{\Sigma_C(r)}\; o\; A_{\Sigma_F(r)} \) es otra matriz \(A_{\Sigma_C(r)}\; o\; A_{\Sigma_F(r)} \) , respectivamente.

Demostración.- Sean (31) :
    \(A_{\Sigma(r)} \;y \; B_{\Sigma(r)}\in C[\Sigma_C(r)] \)
Desarrollando el producto por bloques de orden r, tenemos para la columna k-ésima del producto (32) :
    \(\displaystyle \sum_{j=1}^s C_{jk} = \sum_{j=1}^s \sum_{i=1}^s A_{ji}B_{ik} \)
y como la columna k-ésima es genérica, podemos decir que está demostrado lo que nos proponíamos.

TEOREMA 5

La inversa de una matriz \(A_{\Sigma_C(r)}\; o\; A_{\Sigma_F(r)} \) regular es una matriz \(A_{\Sigma_C(r)}\; o\; A_{\Sigma_F(r)} \)regular.
Demostración.- Si \(A_{\Sigma(r)}\) es regular, existirá una matriz B que nos permite escribir (33):
    \( A_{\Sigma(r)}B = I \rightarrow B = [A_{\Sigma(r)}]^{-1} \)
y tenemos (34) :
    \( \displaystyle \sum_{j=1}^s C_{jk} =I = \sum_{j=1}^s \sum_{i=1}^s A_{ji}B_{ik} = \sum_{j=1}^s \left(\sum_{j=1}^s A_{ji}\right)B_{ik} \)
Pero como\(A_{\Sigma(r)}\) es una matriz sigma, se cumplirá (35)
    \(\displaystyle \sum_{j=1}^s A_{ji} = \sigma(r) \)
y a partir de ahí se llega fácilmente al resultado.

Ejemplo .- (pg 248, Matrix Computations; G.H. Golub, CH.F. Van Loan). En la matriz (39) :
    \(\left( \begin{array}{cccccccccc} 1 & 1 & 1 & -2 & 1 & -1 & 2 & -2 & 4 & -3 \\ -1 & 2 & 3 & -4 & 2 & -2 & 4 & -4 & 8 & -6 \\ -1 & 0 & 5 & -5 & 3 & -3 & 6 & -6 & 12 & -9 \\ -1 & 0 & 3 & -4 & 4 & -4 & 8 & -8 & 16 & -12 \\ -1 & 0 & 3 & -6 & 5 & -4 & 10 & -10 & 20 & -15 \\ -1 & 0 & 3 & -6 & 2 & -2 & 12 & -12 & 24 & -18 \\ -1 & 0 & 3 & -6 & 2 & -5 & 15 & -13 & 28 & -21 \\ -1 & 0 & 3 & -6 & 2 & -5 & 12 & -11 & 32 & -24 \\ -1 & 0 & 3 & -6 & 2 & -5 & 12 & -14 & 37 & -26 \\ -1 & 0 & 3 & -6 & 2 & -5 & 12 & -14 & 36 & -25 \\ \end{array} \right) \)
todas las filas suman el valor 2. Aplicando el teorema 2, resulta (40)
    \( \left( \begin{array}{ccccccccc} 1 & 2 & -2 & 1 & -1 & 2 & -2 & 4 & -3 \\ -1 & 4 & -3 & 2 & -2 & 4 & -4 & 8 & -6 \\ -1 & 2 & -2 & 3 & -3 & 6 & -6 & 12 & -9 \\ -1 & 2 & -4 & 4 & -3 & 8 & -8 & 16 & -12 \\ -1 & 2 & -4 & 1 & -1 & 10 & -10 & 20 & -15 \\ -1 & 2 & -4 & 1 & -4 & 13 & -11 & 24 & -18 \\ -1 & 2 & -4 & 1 & -4 & 10 & -9 & 28 & -21 \\ -1 & 2 & -4 & 1 & -4 & 10 & -12 & 33 & -23 \\ -1 & 2 & -4 & 1 & -4 & 10 & -12 & 32 & -22 \\ \end{array} \right) \)
En la matriz resultante vuelve a cumplirse que todas las filas suman el valor 2, por lo que podemos aplicar de nuevo el teorema 2 para obtener (41) :
    \( \left( \begin{array}{cccccccc} 2 & -1 & 1 & -1 & 2 & -2 & 4 & -3 \\ 0 & 0 & 2 & -2 & 4 & -4 & 8 & -6 \\ 0 & -2 & 3 & -2 & 6 & -6 & 12 & -9 \\ 0 & -2 & 0 & 0 & 8 & -8 & 16 & -12 \\ 0 & -2 & 0 & -3 & 11 & -9 & 20 & -15 \\ 0 & -2 & 0 & -3 & 8 & -7 & 24 & -18 \\ 0 & -2 & 0 & -3 & 8 & -10 & 29 & -20 \\ 0 & -2 & 0 & -3 & 8 & -10 & 28 & -19 \\ \end{array} \right) \)
En este caso resulta una matriz triangular por bloques, uno de los cuales tiene un solo valor propio que es 2, y el otro resulta ser de nuevo una matriz sigma por filas (42) :
    \(\left( \begin{array}{ccccccc} 0 & 2 & -2 & 4 & -4 & 8 & -6 \\ -2 & 3 & -2 & 6 & -6 & 12 & -9 \\ -2 & 0 & 0 & 8 & -8 & 16 & -12 \\ -2 & 0 & -3 & 11 & -9 & 20 & -15 \\ -2 & 0 & -3 & 8 & -7 & 24 & -18 \\ -2 & 0 & -3 & 8 & -10 & 29 & -20 \\ -2 & 0 & -3 & 8 & -10 & 28 & -19 \\ \end{array} \right) \)
A la que le aplicamos el teorema 2 para obtener (43) :
    \( \left( \begin{array}{cccccc} 1 & 0 & 2 & -2 & 4 & -3 \\ -2 & 2 & 4 & -4 & 8 & -6 \\ -2 & -1 & 7 & -5 & 12 & -9 \\ -2 & -1 & 4 & -3 & 16 & -12 \\ -2 & -1 & 4 & -6 & 21 & -14 \\ -2 & -1 & 4 & -6 & 20 & -13 \\ \end{array} \right) \)
Que también es una matriz sigma por filas con valor propio 2 y que reducida da (44) :
    \( \left( \begin{array}{ccccc} 2 & 2 & -2 & 4 & -3 \\ -1 & 5 & -3 & 8 & -6 \\ -1 & 2 & -1 & 12 & -9 \\ -1 & 2 & -4 & 17 & -11 \\ -1 & 2 & -4 & 16 & -10 \\ \end{array} \right) \)
Que de nuevo es otra matriz sigma por filas pero ahora con el valor propio 3, y que reducida nos queda (45) :
    \(\left(
    \begin{array}{cccc}
    3 & -1 & 4 & -3 \\
    0 & 1 & 8 & -6 \\
    0 & -2 & 13 & -8 \\
    0 & -2 & 12 & -7 \\
    \end{array}
    \right) \)
Que es una matriz triangular por bloques con uno de ellos de valor propio 3 y otro con la estructura de una matriz sigma por filas con valor propio 3 y dada por (46) :
    \(\left(
    \begin{array}{ccc}
    1 & 8 & -6 \\
    -2 & 13 & -8 \\
    -2 & 12 & -7 \\
    \end{array}
    \right) \)
Que una vez reducida da como resultante otra matriz sigma por filas con valor propio 3 y matriz reducida 1, que sería el último valor propio resultante (47) :
    \( \left(
    \begin{array}{cc}
    5 & -2 \\
    4 & -1 \\
    \end{array}
    \right)\)
Resumiendo, hemos obtenido el espectro de valores propios :
{ 2 , 2 , 2 , 2 , 2 , 3 , 3 , 3 , 3 , 1 }

BIBLIOGRAFIA

Golub-Van Loan, Matrix computations, The Johns Hopkins Press.

T.M. Apostol, Cálculus, pg 102 y sgts. Ed Reverté

R. Bellman, Introducción al análisis matricial, pgs 250 y sgts. Ed Reverté

Horn, Roger A., Matrix analysis, pg 26. Ed Cambridge University Press .

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tema escrito por: José Antonio Hervás