PROBLEMAS RESUELTOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES
ejercicios sobre ecuaciones diferenciales en derivadas parciales

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Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales

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Ejercicios de ecuaciones en derivadas parciales - Respuesta del ejemplo 48

Para factorizar el polinomio operador, consideramos la expresión:
    \( (aD_x +b D_y)(a'D_x +b' D_y)(a"D_x +b" D_y) \)
Desarrollando e igualando coeficientes con la expresión del enunciado obtenemos:
    \( a a' a" = 1 \; \; ; \; \; a a' b" + a b' a" + b a' a" = -3 \)

    \( a b' b" + b a' b" + b b' a" = -4 \; \; ; \; \; bb' b" = 12 \)
Como estos coeficientes son, en principio, arbitrarios, tomamos \(a = a' = a" = 1 \) y resulta:
    \( b" + b' + b = -3 \; \; ; \; \; b' b" + b b" + b b' = -4 \; \; ; \; \; bb' b" = 12 \)
Y según se sabe por álgebra, esto nos da los coeficientes del polinomio de tercer grado que resuelve las incógnitas. Si este polinomio tiene la forma:
    \( Ax^3 + B x^2 + Cx + D\)
Tendremos:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    - \frac{B}{A} = b" + b' + b = -3 \; \; ; \\
     \\
    \; \; \frac{C}{A} = b' b" + b b" + b b' = -4 \; \; ; \; \; \frac{D}{A} = bb' b" = 12
    \end{array}\)
Tomando A = 1, podemos escribir:
    \( x^3 + 3 x^2 - 4x - 12 \; \rightarrow \; (x-2)(x+2)8x+3) = 0\)
Y el polinomio en \(D_x, D_y) se podrá factorizar como:
    \( (D_x - 2D_y)(D_x + 2 D_y)(D_x + 3 D_y)z = \sin (y+2x)\)
De ese modo, la solución de la ecuación homogénea vendrá dada por:
    \( z_h = \phi_1(y+2x) + \phi_2(y - 2x) + \phi_3(y-3x)\)
Para la solución general de la ecuación completa, ensayamos una de la forma:
    \( \displaystyle\begin{array}{l}
    \sin (y+2x) = \frac{1}{2i}\left[e^{+i(\alpha x + \beta y)} - e^{-i(\alpha x + \beta y)} \right] \; \; ; \\
     \\
    \; \; \; z_p = K_1· e^{+i(2 x + y)} + K_2· e^{-i(2 x + y)}
    \end{array} \)
Y se ha de cumplir:
    \( \phi (\alpha, \beta) \neq 0 \; \rightarrow \; (\alpha^3 - 3 \alpha^2 \beta - 4 \alpha \beta^2 + 12 \beta^3)(\alpha, \beta) \neq 0\)
Pero tenemos para K1:
    \( (\alpha^3 - 3 \alpha^2 \beta - 4 \alpha \beta^2 + 12 \beta^3)(2i, i) = - 8i + 12i + 8i - 12i = 0\)
Y esta solución no es válida. Análogamente resulta para K2 , por lo que tomamos una solución particular de la forma:
    \( z_p = K_1 x e^{+i(2 x + y)} + K_2 x e^{-i(2 x + y)} \)
En este caso obtenemos soluciones válidas que nos dan:
    \( K_1 = \displaystyle \frac{1/2i}{\phi'_{\alpha}(\alpha_1, \beta_1)} = \frac{1}{8i} \; \; ; \; \; K_2 = \frac{-1/2i}{\phi'_{\alpha}(\alpha_2, \beta_2)}= - \frac{1}{8i} \)
Y la solución general será:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    z = \phi_1(y+2x) + \phi_2(y - 2x) + \phi_3(y-3x) + \\
     \\
    + \frac{x}{8i} ·e^{+i(2 x + y)} - \frac{x}{8i} · e^{-i(2 x + y)}
    \end{array}\)
O, lo que es igual:
    \( \displaystyle z = \phi_1(y+2x) + \phi_2(y - 2x) + \phi_3(y-3x) + \frac{x}{4} · \sin (y+2x)\)
EJERCICIOS-ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES


tema escrito por: José Antonio Hervás