Implementar la función de transferencia:

\( \displaystyle D(z) = \frac{(1-0,5·z^{-1})(1-0,2·z^{-1})}{(1-0,3·z^{-1})(1-0,4·z^{-1})} \)

Mediante una configuración de la forma:

Ejercicios de automática. Respuesta 47

Para que una función pueda implementarse en la forma requerida debe tener todos polos simples, reales, positivos y de módulo inferior a 1 (realizables) y además que el número de estos no sea inferior al de ceros.
La función que estamos considerando cumple los requisitos, pues tiene todos sus polos y ceros realizables e igual número de unos que de otros. En realidad, puede implementarse bien mediante una red en serie o bien en paralelo. Para una configuración como la requerida tendremos:

\( \displaystyle\begin{array}{l}
D(z) = \mathcal{Z}\left[G_oG_c(s)\right] = \mathcal{Z}\left[\frac{1-e^{-Ts}}{s}G_c(s)\right] = \\
\\
=(1-z^{-1})\mathcal{Z}\left[\frac{G_c(s)}{s}\right] \\
\\
\mathcal{Z}\left[\frac{G_c(s)}{s}\right] = \frac{D(z)}{1-z^{-1}} \Rightarrow G_c(z) = s·\mathcal{Z}^{-1}\left[ \frac{D(z)}{1-z^{-1}}\right]
\end{array} \)

Y, en consecuencia:

\( \displaystyle \begin{array}{l} \mathcal{Z}^{-1}\left\{\frac{(1-0,5·z^{-1})(1-0,2·z^{-1})}{(1-z^{-1})(1-0,3·z^{-1})(1-0,4·z^{-1})} \right\} = \\ \\ = \mathcal{Z}^{-1}\left[\frac{0,952}{1-z^{-1}}\right] + \mathcal{Z}^{-1}\left[\frac{0,333}{1-0,4z^{-1}}\right] + \mathcal{Z}^{-1}\left[-\frac{0,286}{1-0,3z^{-1}}\right]= \\ \\ = \frac{0,925}{s} + \frac{0,333}{s-\ln(0,4)} - \frac{0,286}{s-\ln(0,3)} = \\ \\= \frac{0,925}{s} + \frac{0,333}{s+ 0,91} - \frac{0,286}{s+ 1,2} \end{array} \)

Por lo que finalmente tendremos.:

\( \displaystyle G_c(s) = s·\mathcal{Z}^{-1}\left[ \frac{D(z)}{1-z^{-1}}\right] = \frac{0,972·s^2 + 1,81·s + 1,01}{(s+0,91)(s+1,2)} \)