PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS
ejercicios resueltos de métodos numéricos

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Problemas resueltos de Métodos Matemáticos

Respuesta del ejercicio 50

En general, conociendo la matriz asociada a la forma cuadrática \( \phi \), esta viene dada por la ecuación:

    \(\phi (x) = \displaystyle \sum_1^n w_{}x_i^2 + 2 \sum_{i=j}^n w_{ij}x_ix_j \)

Por lo tanto, en nuestro caso, tendremos:

    \( \begin{array}{l} \phi (x) = x_1^2 + x_2^2 + 3x_3^2 + 7x_4^2 + 2x_1x_2 + 2x_1x_3 + \\  \\ + 2x_1x_4 + 2x_2x_3 + 2x_2x_4 \end{array} \)

Para encontrar la matriz D que proporciona la congruencia, tenemos que descomponer la forma cuadrática. Lo hacemos por el método de Gauss:

    \( \displaystyle \begin{array}{l} \phi(x) = x_1^2 + 2x_1(x_2 + x_3 + x_4) + (x_2 + x_3 + x_4)^2 -\\ \\- (x_2 + x_3 + x_4)^2 + x_2^2 + 3x_3^2 + 7x_4^2 + 2x_2x_3 + 2x_2x_4 =\\ \\= \left[x_1 + \left(x_2 + x_3 + x_4\right)\right] 2x_3^2 + 6x_4^2 - 2x_3x_4 = f_1^2 +\\ \\+ 2\left(x_3^2 + 3x_4^2 - x_3x_4\right) = f_1^2 + 2\left(x_3^2 + \frac{1}{4}x_4^2 + \frac{11}{4}x_4^2 \right) =\\ \\= f_1^2 + 2f_2^2 + \frac{11}{4}x_4^2\end{array} \)

De ese modo, las formas lineales independientes que hemos obtenido son:

    \( \displaystyle f_1 = x_1+x_2+x_3+x_4 \quad ; \quad f_2 = x_3 - \frac{1}{2}x_4 \quad ; \quad f_3 = x_4\)

Por todo ello, la matriz D buscada tendrá la forma:

    \( A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 11/2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\)

Para calcular la matriz P de paso, podemos considerar las formas lineales independientes:

    \( \displaystyle f_1 = x_1+x_2+x_3+x_4 \; ; \; f_2 = x_3 - \frac{1}{2}x_4 \; ; \; f_3 = x_4 \; ; \; f_4 = x_1\)

y calcular una base de vectores conjugados dos a dos:

    \( \displaystyle \begin{array}{l} f_1(e_1) = 1 \; ; \; f_2(e_1) = 0 \; ; \; f_3(e_1) = 0 \; ; \; f_4(e_1) = 0 \Rightarrow\\ \Rightarrow e_1 = (0, 1, 0, 0)\\ \\ f_1(e_2) = 0 \; ; \; f_2(e_2) = 1 \; ; \; f_3(e_2) = 0 \; ; \; f_4(e_2) = 0 \Rightarrow\\ \Rightarrow e_2 = (0, 0, 2, -1) \\ \\ f_1(e_3) = 0 \; ; \; f_2(e_3) = 0 \; ; \; f_3(e_3) = 1 \; ; \; f_4(e_3) = 0 \Rightarrow\\ \Rightarrow e_3 = (0, -3/2, 1/2, 1) \\ \\ f_1(e_4) = 0 \; ; \; f_2(e_4) = 0 \; ; \; f_3(e_4) = 0 \; ; \; f_4(e_4) = 1 \Rightarrow\\ \Rightarrow e_4 = (1, -1, 0, 0)\end{array} \)

Y colocando en columna estos vectores, tendremos la matriz P buscada que verifica:

    \( D = P\, ^t A P \)
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tema escrito por: José Antonio Hervás