Ejercicios de electricidad y magnetismo
Determinar el valor de la inducción electromagnética producida
por una espira o corriente circular en un punto de su eje. Como
ejemplo numérico considerar el caso de una espira de 4 cm de
radio por la que circula una corriente de 10 Amperios en sentido
de las agujas del reloj y calcular el valor del campo y el polo
magnético que se ve en la espira cuando está dibujada.
Respuesta al ejercicio 22
Consideremos una espira por la que circula una intensidad de corriente
I, y tomemos en ella un elemento de arco, ds. Vamos a determinar
el vector intensidad de campo, B, que produce en un punto P situado
sobre su eje.
Trazamos un plano horizontal que pase por el centro de la espira
y tomamos el elemento ds en contacto con dicho plano; el vector
B quedará entonces sobre él. Si lo descomponemos según las direcciones
de OP y perpendicularmente a ella, se obtienen los vectores B
H
y B
V. Si descomponemos en la misma forma el vector
intensidad de campo que produce sobre el punto P un elemento de
corriente simétrico del que hemos considerado antes, situada en
el punto N, nos encontramos con que produce una componente igual
y de sentido contrario a la B
V y, por lo tanto, ambas
se anulan. Solo quedan las componentes sobre el eje OP , siendo
cada una de valor :
\( dB_H = dB· \sin \alpha_1 \)
Sabiendo, por otro lado, que la intensidad de campo producida
por un elemento de corriente vale :
\( \displaystyle dB = \frac{\mu}{4·\pi}· \frac{I·ds· \sin \alpha}{r^2}
\)
Podemos poner
\( \displaystyle\begin{array}{l}
dB_H = dB· \sin \alpha_1 = \\
\\
= \frac{\mu}{4·\pi}· \frac{I·ds· \sin \alpha}{r^2}· \sin \alpha_1 = \frac{\mu}{4·\pi}· \frac{I·ds}{r^2}· \sin \alpha_1
\end{array} \)
Debemos considerar que \( \alpha \) es el
ángulo formado por r y ds, con lo cual, por estar ambos en planos
perpendiculares, tenemos \( \sin \alpha = 1 \).
El campo total producido por toda la corriente circular será
la suma de los infinitos valores producidos por todos los elementos
de corriente, es decir :
\( \displaystyle\begin{array}{l}
B = \int \limits_0^{2 \pi} \frac{\mu}{4·\pi}· \frac{I·ds}{r^2}· \sin \alpha_1 = \\
\\
= \frac{\mu}{4·\pi}· \frac{I·2 \pi · R}{r^2}· \sin \alpha_1 = \frac{\mu}{2}· \frac{I· R}{r^2}· \sin \alpha_1
\end{array} \)
Debemos considerar que r y sen
α1 no
son variables para un mismo punto P, puesto que el radio de
la corriente circular o espira es constante y a su vez la distancia
P al centro de la espira, que determina el valor de sen
α1
. No obstante, podemos poner la anterior expresión en función
de valores mas sencillos de determinar.Los ángulos
α1
y
α2 , considerados en el esquema,
son iguales por tener los lados perpendiculares; según eso podemos
poner :
\( \displaystyle \sin \alpha_1 = \sin \alpha_2 = \frac{R}{r}
\)
con lo cual nos queda :
\( \displaystyle B = \frac{\mu}{2}· \frac{I· R^2}{r^3} \)
Al mismo tiempo, al ser el triángulo POM rectángulo, podemos
aplicar el teorema de Pitágoras y escribir :
\( \displaystyle B = \frac{\mu}{2}· \frac{I· R^2}{r^3} = \frac{\mu}{2}·
\frac{I· R^2}{\left(a^2 + R^2\right)^{3/2}} \)
siendo a la distancia del punto P al centro de la espira. La
expresión obtenida nos da el valor del módulo del vector intensidad
de campo magnético.
Como caso particular, haciendo a = 0 podemos obtener el valor
de la intensidad de campo en el centro de la espira :
\( \displaystyle B = \frac{\mu}{2}· \frac{I· R^2}{\left(0
+ R^2\right)^{3/2}} = \frac{\mu}{2}· \frac{I}{R} \)
Considerando el ejemplo numérico
\( \displaystyle B = \frac{4· \pi · 10^{-7}}{2} \times \frac{10}{4·10^{-2}}
= \frac {\pi}{2} · 10^{-4} Wb/m^2 \)
para saber que polo magnético de la espira se ve, consideraremos
una regla nemotécnica que consiste en dibujar una S o una N
dentro de la espira y colocar unas flechitas en los extremos
de la letra. Si el sentido de la intensidad de la corriente
coincide con el sentido dado a la S, se ve el polo sur, si es
lo contrario, el polo norte.
Una regla general consiste en tomar el conductor con la mano
derecha y colocar el dedo pulgar a lo largo de este.
Si la intensidad de la corriente coincide con el sentido del
dedo, el polo que se ve de la espira es el norte, es decir,
las líneas de campo salen.