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SISTEMAS
DE
ECUACIONES
DIFERENCIALES

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SISTEMAS DE ECUACIONES DE PRIMER ORDEN

Un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden es un sistema de varias ecuaciones simultáneas de la forma:
    \( \begin{array}{l}
    y'_1 = f_1(x, y_1,y_2,..., y_n) \\
     \\
    y'_2 = f_2(x, y_1,y_2,..., y_n) \\
     \\
    \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots\cdots \cdots\\
     \\
    y'_n = f_n(x, y_1,y_2,..., y_n)
    \end{array} \)
En un sistema de este tipo el número de ecuaciones es igual al de variables sin contar la x.
De forma análoga se puede considerar sistemas de ecuaciones de segundo orden que vienen expresadas mediante:
    \(\begin{array}{l}
    y"_1 = f_1(x, y_1,y_2,..., y_n, y'_1,y'_2,..., y'_n) \\
     \\
    y"_2 = f_2(x, y_1,y_2,..., y_n, y'_1,y'_2,..., y'_n) \\
     \\
    \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\
     \\
    y"_n = f_n(x, y_1,y_2,..., y_n, y'_1,y'_2,..., y'_n)
    \end{array} \)
Podemos generalizar estos conceptos considerando un sistema de n ecuaciones simultáneas en n variables, en el cual las ecuaciones pueden ser de orden cualquiera y no necesariamente el mismo. Es necesario, luego, sistema sea normal, es decir, la derivada de mayor orden de cada variable se presente solo en una ecuación, además en el primer miembro de la misma.
Y seguimos el orden de un sistema como la suma de los órdenes de las ecuaciones de dicho sistema. Una simplificación unificadora surgen el hecho de que un sistema arbitrario de orden n puede escribirse como un sistema de n ecuaciones de primer orden. Una ecuacion arbitraria de orden n se transforma en un sistema de ecuaciones de primer orden introduciendo las variables:
    \(y' = y_2,..., y^{(n-1)} \)
Es decir:
    \( \left.
    \begin{array}{l}
    y = y_1 \\
     \\
    y' = y_2 \\
     \\
    y" = y_3 \\
     \\
    \vdots \\
     \\
    y^{(n-1)} = y_n \\
    \end{array}
    \right\}\quad y^{(n)} = f(x,y,y',..., y^{(n-1)}) \Rightarrow \left\{
    \begin{array}{l}
    y'_1 = y_2 \\
     \\
    y'_2 = y_3 \\
     \\
    y'_3 = y_4 \\
     \\
    \vdots \\
     \\
    y'_n = f(x,y_1,y_2,..., y_n) \\
    \end{array}
    \right. \)
El mismo método de introducción de nuevas variables es aplicable a un sistema cualquiera de orden n cómo podemos ver en el siguiente ejemplo de dos ecuaciones simultáneas de segundo orden:
    \( y" = f(x,y,z,y',z')\qquad ; \qquad z" = g(x,y,z,y',z') \)
Poniendo:
    \( y_1 = y\: , \:y_2 = z\: ,\:y_3 = y'\: , \:y_4 = z' \)
Obtenemos un sistema de 4 ecuaciones de primer orden:
    \( \begin{array}{l}
    y'_1 = y_3 \\
     \\
    y'_2 = y_4 \\
     \\
    y'_3 = f(x,y_1,y_2,y_3,y_4) \\
     \\
    y'_4 = g(x,y_1,y_2,y_3,y_4)
    \end{array} \)
Podemos decir entonces que todas las ecuaciones y sistemas diferenciales pueden inscribirse como un sistema de ecuaciones de primer orden. La distinción más importante que se hace entre sistema ese que ella en que los distribuye en sistemas lineales y no lineales. Más adelante veremos los llamados sistemas lineales y los conceptos necesarios para su comprensión.

Teorema de existencia para sistemas de ecuaciones

La existencia de solución de un sistema normal:
    \( \begin{array}{l}
    y'_1 = f_1(x,y_1,y_2,...,y_n) \\
     \\
    y'_2 = f_2(x,y_1,y_2,...,y_n) \\
     \\
    \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\
     \\
    y'_n = f_n(x,y_1,y_2,...,y_n)
    \end{array} \)
Correspondiente a unas condiciones iniciales prefijadas:
    \( x_o\,,\,y_1^o\,,...,\,y_n^o \)
En un cierto entorno de \( x_o \), es decir, resistencia de un arco de curva integral que pase por el punto \( (x_o\,,\,y_1^o\,,...,\,y_n^o) \) se demuestra de forma análoga a la indicada para las ecuaciones diferenciales de primero y segundo orden.
Empleando la notación vectorial podemos poner:
    \( \left.
    \begin{array}{l}
    y_1(x_o) = y_1^o \\
    \vdots \\
    y_n(x_o) = y_n^o \\
    \end{array}
    \right\}\quad \vec{y}(x_o) = \vec{y}^o \)
Y decir que existirá una solución y solo una del sistema (un conjunto \( \{y_i(x)\} \) ) si cada ecuación cumple las siguientes condiciones:
1ª) cada \( f_i \) es continúa en un cerrado y acotado que contenga al punto \( y_i \)
    \( x_o - a \leq x \leq x_o + a \qquad ; \qquad y_i^o - b_i \leq y_i \leq y_i^o + b_i \)
2ª) cada \( f_i\) es de variacion acotada, es decir:
    \( \displaystyle |f_i(x,y_1,...,y_n)- f_i(x,y_1^*,...,y_n^*)|\leq M_i\left(\sum_j^n |y_j - y_j^*|\right) \)
En particular, el método de Picard cómo límites de sucesiones de funciones construidas del siguiente modo:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    y_i^1 = y_i^o + \int_{x_o}^{x}f_i(t,y_1^o,y_2^o,...,y_n^o)dt\qquad i = 1,...,n \\
     \\
    y_i^2 = y_i^o + \int_{x_o}^{x}f_i(t,y_1^1,y_2^1,...,y_n^1)dt\qquad i = 1,...,n \\
     \\
    y_i^3 = y_i^o + \int_{x_o}^{x}f_i(t,y_1^2,y_2^2,...,y_n^2)dt\qquad i = 1,...,n
    \end{array} \)
Y así sucesivamente.
Sistemas de dos ecuaciones
Monografía en catorce capítulos, capítulo prmero:
Sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden
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tema escrito por: José Antonio Hervás