Nada hacía presagiar
a Jon que la jornada escolar le deparaba una pequeña
sorpresa cuando, empujado por un invisible resorte, salía
escopetado de la cama mientras sobre sus despistadas orejas
incidía suave y envolventemente la voz de su adorada
madre animándole a afrontar con buen ánimo aquella
fría y húmeda mañana del mes de febrero
que intentaba colarse a través de las rendijas de la
ventana de su habitación.
Como correspondía a la primera hora de clase de ese
día de la semana, Jon Savreh estaba aún intentando
despertar de su letargo mañanero para atender las explicaciones
de su profesora de aritmética, cuando notó que
ésta hablaba en los siguientes términos :
Bien, repitiendo otra vez para los más despistados,
os decía que hoy conoceréis algunas propiedades
de los triángulos. Para ello, tomaréis, cada
uno, uno de los estuches rojos de la parte izquierda del estante
inferior del armario de los útiles escolares y, con
las piezas de su interior, deberéis construir, en el
menor tiempo posible, un triángulo. El primero que
consiga el objetivo tendrá un punto extra en la nota
de esta evaluación.
Si bien Jon se levantó de su asiento cuando aún
estaba hablando la profesora, no le fue posible, por mas que
pusiera todo su empeño en ello, hacerse con el primero
de los estuches, ya que dicho mérito recayó
en su compañero y, sin embargo amigo, David que le
ganó por medio pupitre al estar el suyo tres por detrás
en la misma fila.
No me importa, pensó mientras volvía como centella
a su asiento; seguro que termino antes que nadie y consigo
el punto extra que me dará un poco de tranquilidad
este mes.
Para su desdicha, a los tres minutos ya estaba Noemí
levantando la mano en señal de triunfo. Y después
de ella Iván de la Piedra, Guillermo, Cristina y algunos
más.
¡Eh, un momento, “profe”!, protestó
Jon. No vale, a mí me falta una pieza. Si no fuera
por eso habría terminado antes.
Tranquilo, Jon, tranquilo. Eso no es posible; yo misma revisé
los estuches ayer y estaban todos completos. Seguro que hay
otra explicación.
Profe, Jon tiene razón, a mí también
me falta una pieza – Intervino Adrián.
¡No!, no os falta ninguna pieza, es que lo habéis
hecho maaaaal– corearon varios compañeros al
unísono mientras la clase comenzaba a revolverse más
de lo admisible para la profesora.
¡Esta bien!, ¡está bien!. Nadie lo ha hecho
mal. Sentaos todos y atended en silencio. Creo que ha llegado
el momento de aclarar las cosas y resolver el enigma. Noemí,
Jon, traed vuestros montajes y ponedlos encima de mi mesa;
trataré de explicaros el supuesto misterio. Para facilitaros
la deducción, representaré en la pizarra, sobre
un fondo cuadriculado y pintando cada pieza análoga
del mismo color, las figuras que Noemí y Jon han dejado
sobre la mesa.
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Consideraremos la figura
de la derecha y tomaremos el lado de los cuadraditos sobre
los que están representadas ambas como de valor igual
a la unidad.
Si aplicamos el teorema de Pitágoras, visto la semana
pasada, para obtener el valor de la hipotenusa del triángulo
azul (pequeño), comprobaremos que su valor es :
Del mismo, para el valor de la hipotenusa del triángulo
rojo (mediano) resulta :
Aparentemente, la hipotenusa del "triángulo"
grande (con todas las piezas) es la "suma" de las
hipotenusas de los triángulos azul y rojo, es decir
: \(\sqrt{2^2 + 5^2} + \sqrt{3^2 + 8^2}\)
Pero, por el teorema de Pitágoras, la hipotenusa del
triángulo grande (con todas las piezas) vale:
Haciendo operaciones puede verse que:
es distinto que,
\((\sqrt{2^2 + 5^2} + \sqrt{3^2
+ 8^2})\)
Es decir, tenemos que a la figura de la derecha le falta,
para ser un verdadero tríangulo, el área de
un triángulo de lados:
\(\sqrt{2^2 + 5^2} \; ,\; \sqrt{3^2
+ 8^2} \; y \; \sqrt{5^2 + 13^2} \) y a la otra figura, si
incluimos en ella el cuadradito blanco situado entre las piezas
varde claro y amarillo, le sobra la misma área, para
ser un verdadero triángulo.
Aplicando la llamada fórmula de Herón, matemático
y físico ejipcio que vivió entre los siglos
I y II antes de Cristo podemos calcular el área de
un triángulo a partir de sus lados:
\(\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\)
, donde a, b y c son los lados respectivos y p es la mitad
del perímetro (a+b+c),
\( \displaystyle p = \frac{\left(\sqrt{2^2 + 5^2} + \sqrt{3^2
+ 8^2} + \sqrt{5^2 + 13^2} \right)}{2}\)
Con un poco de paciencia, podemos ver que cada uno de dichos
triángulos tiene de área 0,5 unidades cuadradas
y la suma de los dos triángulos nos da el valor del
hueco de la figura superior.
Toda la clase quedó maravillada con la disertación
de la profesora, si bien para muchos resultaba mayor misterio
que el del cuadradito fantasma entender que la profesora se
emocionara tan efusivamente explicando algo tan árido
y complicado como las matemáticas. |
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