ONDAS ESFÉRICAS
Como ejemplo de ondas esféricas, vamos a considerar una onda de
presión en un fluido homogéneo e isotopo. En principio,
se podría suponer que sí r es la distancia del origen y
\( P_o \) la presión normal, la onda de presión puede escribirse
en la forma:
\( P - P_o = f(r - v·t)\)
Dónde r representa el mismo papel que x en las ondas planas.
Sin embargo, esta hipótesis es errónea y se deben hacer
algunas consideraciones. Después de una serie de datos experimentales
y análisis teóricos, se ha probado que para un fluido isotropo,
si la onda tiene la misma amplitud en todas direcciones, la onda de presión
está dada por la expresión:
\( \displaystyle P - P_o = \frac{1}{r}·f(r - v·t)\)
El factor geométrico, que no aparecía en una onda plana,
explica por qué la presión disminuye con la distancia a
la fuente, cómo se ha comprobado experimentalmente.
La velocidad de propagación de las ondas esféricas está
dada por la misma expresión que para las ondas planas, es decir:
\( \displaystyle v = \sqrt{\frac{k}{\rho}} \)
Un caso interesante de analizar es el de una onda armónica esférica
de presión, expresión dada por:
\( \displaystyle P = P_o + \frac{\mathfrak{P}_o}{r}·\sin(k·r
- w·t) \)
La amplitud de la onda de presión es \( \mathfrak{P}_o/r \) y disminuye
con la distancia a la fuente. Desplazamiento correspondiente a esta onda
de presión está dado por una expresión más
complicada, grandes distancias de la fuente, este desplazamiento se puede
expresar con una buena aproximación por:
\( \displaystyle \xi = \frac{\mathfrak{P}_o}{r}·\cos(k·r
- w·t) \)
La amplitud de la onda de desplazamiento también disminuye con
la distancia a la fuente, es decir,con \( 1/r \).
Consideremos a continuación la intensidad de una onda esférica.
Vamos a emplear la última ecuación escrita, en cuenta que
la amplitud es ahora, \( \xi_o/r \) en lugar de \( \xi_o \).
A grandes distancias, energía por unidad de volumen está
dada por la ecuación:
\( \displaystyle E = \frac{1}{2}·\rho_ow^2·A^2 = \frac{1}{2}·\frac{\rho_ow^2·\xi_o}{r^2}
= \frac{\mathfrak{P}_o^2}{2v^2\rho_or^2} \)
Disminuye como,
\( \displaystyle \frac{1}{r^2} \)
El flujo de energía por unidad de tiempo que pasa a través
de una superficie esférica de radio r es:
\( \displaystyle \begin{array}{l}
\left(\frac{\partial W}{\partial t}\right)= v·A·E = v(4\pi
r^2)\left(\frac{1}{2}·\frac{\rho_ow^2\xi_o^2}{r^2}\right) = \\
\\
= 2\pi v \rho_o w^2 \xi^2_o = \frac{2\pi·\mathfrak{P}_o}{\rho_o·v}
\end{array} \)
Notamos que el factor \( r^2 \) se ha eliminado, resultando una expresión
independiente del radio. Este resultado era de esperar, ya que la conservación
de la energía requiere que, en promedio, fluya la misma cantidad
de energía por unidad de tiempo a través de cualquier superficie
esférica, independientemente de su radio. Esto explica la presencia
del factor \( 1/r \) en las ecuaciones en que lo hemos considerado.
Recordando que la intensidad de una onda viene dada por la expresión:
\( \displaystyle I = \frac{1}{2}·\left(\overline{\frac{\partial
W}{\partial t}}\right) = v·E \)
Podemos poner:
\( \displaystyle I = v·E = v·\frac{\mathfrak{P}^2_o}{2·v^2\rho_o·r^2}
= \frac{\mathfrak{P}^2_o}{2·v\rho_o·r^2} = \frac{I_o}{r^2}
\)
Donde:
\( \displaystyle I_o = \frac{\mathfrak{P}^2_o}{2\rho_o·v} \)
Según este resultado, podemos decir que en una onda esférica
la intensidad es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia
a la fuente.
