DESCRIPCIÓN MATEMÁTICA DE LA PROPAGACIÓN

ONDAS ELÁSTICAS EN UNA BARRA

Si provocamos una perturbación en uno de los extremos de una barra, por ejemplo golpeándola, la perturbación se propaga a lo largo de la barra hasta llegar al otro extremo. Decimos entonces que se ha propagado una onda elástica a lo largo de la barra.
En este apartado vamos a analizar en qué forma está relacionada la velocidad de propagación de la onda elástica con las propiedades físicas de la barra.
Consideremos para ello una barra de sección transversal uniforme A, sujeta a una fuerza F según su eje. Está fuerza F no es necesariamente la misma en todas las secciones y puede variar a lo largo del eje de la barra.
Se define en esfuerzo normal o tensión \( \delta\) sobre una sección de la barra como la fuerza, por unidad de área, que se ejerce perpendicularmente a la sección transversal en ambos sentidos, es decir:

\( \displaystyle \delta = \frac{F}{A} \)

Bajo la acción de las fuerzas indicadas cada sección de la barra experimenta un desplazamiento \( \xi \) paralelo al eje. Si este desplazamiento es el mismo en todos los puntos de la barra, no se produce deformación, si no que simplemente, la barra sufre un desplazamiento rígido según su eje. Pero supongamos que si existe deformación, es decir, que el desplazamiento \( \xi \) de cada sección sea distinto según el punto que consideremos, esto es, que \( \xi\) sea una función de x.
Consideremos dos secciones A y A' separadas la distancia dx cuando la barra se encuentra en equilibrio. Cuando las fuerzas se manifiestan, la sección A se desplaza la distancia \( \xi \) y la sección A' la distancia \( \xi' \). Por lo tanto, la separación entre A y A' cuando la barra se encuentra deformada es:

\( dx + (\xi - \xi') = dx + d\xi \)

Si definimos la deformación unitaria normal \( \varepsilon \) en la barra como una deformación por unidad de longitud a lo largo del eje de la barra, podemos poner:

\( \displaystyle \varepsilon = \frac{\partial \xi}{\partial x} \)

Puesto que la deformación \( \partial \xi \) corresponde a la longitud dx. Cuando no hay deformación, \( \xi \) es constante y, por tanto, \( \varepsilon = 0 \). Esta deformación unitaria, por ser el cociente de dos longitudes, es un número adimensional.
Entre el esfuerzo normal \( \delta \) y la deformación unitaria \( \varepsilon \) de la barra, existe una relación, llamada ley de Hooke, que establece que, dentro del límite de la actividad del material, esfuerzo normal es proporcional a la deformación unitaria normal, o sea:

\( \delta = \varepsilon·Y \)

Dónde Y, qué es la constante de proporcionalidad, se llama módulo de elasticidad de Young.
La ley de Hooke es una buena aproximación al comportamiento elástico de una sustancia siempre que las deformaciones sean pequeñas. Las deformaciones y tensiones son grandes la ecuación anterior no es válida y la descripción de la situación física se complica.
Introduciendo en la ecuación que nos da la ley de Hooke las ecuaciones que definen el esfuerzo normal y la deformación unitaria normal, y despejando la fuerza F, se tiene:

\( \displaystyle F = Y·A\frac{\partial \xi}{\partial x} \)

Cuando se trata de una barra o alambre en equilibrio con un extremo fijo y sujeto a una fuerza F aplicada en el otro extremo, tenemos que la fuerza sobre cada sección debe ser la misma igual a F, por lo que podemos poner:

\( \displaystyle \int_{0}^{\xi}d\xi = \frac{F}{Y·A} \int_{0}^{x} \Rightarrow \xi = \frac{F}{Y·A}·x\)

Si consideramos la deformación h en el extremo libre, esta se obtiene haciendo x = L, de donde:

\( \displaystyle h = \frac{F·L}{Y·A} \)

Expresión que nos permite medir experimentalmente el módulo de Young.
Si la barra no está en equilibrio, la fuerza no es la misma en todas sus secciones, por lo que una de ellas, de espesor dx, estará sometida a una fuerza resultante distinta de cero. Si consideramos, por ejemplo la figura anterior, si tiene que la cara A' de la sección de espesor dx está sometida a la fuerza F' la derecha debida a la tensión que ejerce la parte derecha de la barra, mientras que el lado A está sujeto a la fuerza F hacia la izquierda, divida a la tensión de la parte izquierda de la barra. La fuerza resultante sobre la sección será entonces:

\( \displaystyle F' - F = dF = \frac{\partial F}{\partial x} ·dx \)

Hacia la derecha.
Siendo \( \rho \) la densidad del material de la barra, la masa dm, de la sección, se podrá expresar:

\( dm = \rho·dV = \rho·A·dx \)

Dónde A·dx el volumen de la sección.
Recordando que la sección había sufrido un desplazamiento \( \xi \), la aceleración de este desplazamiento será:

\( \displaystyle \frac{\partial^2 \xi}{\partial t^2} \)

Y por la ecuación fundamental de la dinámica podemos poner:

\( \displaystyle \begin{array}{l}
F = m·a \Rightarrow \frac{\partial F}{\partial x}·dx = (\rho·A·dx)·\frac{\partial^2 \xi}{\partial t^2}\Rightarrow \\
 \\
\Rightarrow \frac{\partial F}{\partial x} = \rho·A·\frac{\partial^2 \xi}{\partial t^2}
\end{array} \)

En esta ecuación encontramos dos variables dependientes: Una de ellas es el desplazamiento \( \xi \) de cada sección de la barra, que es función de la posición y del tiempo; la otra es la fuerza F que se ejerce sobre cada sección que también es función de la posición y del tiempo. Estos valores están relacionados por las ecuaciones:

\( \displaystyle F = Y·A·\frac{\partial \xi}{\partial x}\quad ; \quad \frac{\partial F}{\partial x} = \rho·A·\frac{\partial^2 \xi}{\partial t^2} \)

Que se denominan por ello ecuaciones diferenciales del campo elástico de la barra deformada y que describen las condiciones físicas del problema. Estás ecuaciones son matemáticamente equivalentes las ecuaciones de Maxwell para el electromagnetismo.
Vamos ahora a combinar las dos ecuaciones referidas, para lo cual derivamos la primera de ellas respecto a x:

\( \displaystyle \frac{\partial F}{\partial x} = Y·A·\frac{\partial^2 \xi}{\partial x^2}\)

Y sustituyendo este valor en la segunda:

\( \displaystyle \frac{\partial F}{\partial x} = Y·A·\frac{\partial^2 \xi}{\partial x^2} = \rho·A·\frac{\partial^2 \xi}{\partial t^2} \Rightarrow \frac{\partial^2 \xi}{\partial t^2} = \frac{Y}{\rho}·\frac{\partial^2 \xi}{\partial x^2} \)

Ecuación similar a la (A) por lo que podemos decir que el campo de deformación \( \xi \) se propaga a lo largo de la barra con una velocidad:

\( \displaystyle v = \sqrt{\frac{Y}{\rho}} \)

Este resultado ha sido confirmado experimentalmente, midiendo por separado las tres cantidades.
Podemos verificar que el campo de fuerza F satisface una ecuación similar; para ello, derivamos dos veces la primera de las ecuaciones diferenciales del campo respecto a t:

\( \displaystyle \frac{\partial F}{\partial t} = Y·A·\frac{\partial^2 \xi}{\partial x\partial t} \Rightarrow \frac{\partial^2 F}{\partial t^2} = Y·A·\frac{\partial^3 \xi}{\partial x\partial t^2} \)

Si por otro lado, derivamos la segunda de ecuaciones una vez respecto a x, nos queda:

\( \displaystyle \frac{\partial ^2F}{\partial x^2} = \rho·A·\frac{\partial^3 \xi}{\partial t^2\partial x} \)

Y sustituyendo este valor en la anterior ecuación:

\( \displaystyle \frac{\partial ^2F}{\partial t^2} = Y·A·\frac{1}{\rho·A}· \frac{\partial ^2F}{\partial x^2} \Rightarrow \frac{\partial ^2F}{\partial t^2} = \frac{Y}{\rho·A}· \frac{\partial ^2F}{\partial x^2} \)

Lo que indica que el campo de fuerzas se propaga a lo largo de la barra con la misma velocidad que el campo de desplazamientos.
Está descrita por las ecuaciones consideradas corresponde a las propiedades físicas deformación, \( \xi \), y fuerza, F, orientadas según la dirección de propagación de la onda, es decir, según el eje X. Este tipo de movimiento ondulatorio se llama longitudinal.