Ejercicio

Juanito se encuentra debajo de la ventana de la casa en la que vive Pedro y observa, con su escopeta de aire comprimido en la mano, cómo éste, que está a una altura h del suelo, lanza horizontalmente con velocidad v₁ y en dirección este (E) el bonito avión que le han regalado sus padres por sacar buenas notas. Entonces, para incordiar, Juanito dispara su escopeta con la intención de alcanzar al avión con el disparo.

Considerando que ambos niños se encuentran sobre el mismo plano vertical y que el perdigón sale a una velocidad v₂, ¿con que dirección ha de disparar Juanito para alcanzar al avión cuando éste haya caído la mitad de la distancia h.

Considérese que ambos niños efectúan su acción al mismo tiempo y en un lugar del hemisferio norte de colatitud λ.

Respuesta

Vamos a analizar en primer lugar el movimiento del avión y para ello consideraremos que cuando se encuentre en el aire solo está sujeto a su peso. Según eso, la ecuación que nos da el valor de la aceleración del avión, será:


Considerando que la recta de unión de los dos niños es el eje Z de un referencial local, y que el eje Y está dirigido hacia el este, podemos poner:



Con lo que se tiene:



Para obtener la trayectoria de un móvil que se mueve según estas expresiones, debemos desarrollar dos integraciones. Multiplicando por dt todos los términos nos queda:



E integrando las ecuaciones para las condiciones iniciales:



Podemos poner:



Multiplicando de nuevo por dt todos los términos e integrando bajo las mismas condiciones que antes, tenemos:



Para resolver este sistema empleamos el método de aproximaciones sucesivas, que consiste en introducir una solución aproximada para resolver el sistema y con la nueva solución repetir el proceso para obtener una mejor.
En una primera aproximación hacemos w = 0, con lo que obtenemos como solución:



Introduciendo esta primera solución en el sistema nos queda:



Y esas serían las coordenadas del avión en cualquier instante.
Si el impacto entre el avión y el perdigón se ha de producir cuando el primero haya caído h/2 metros, podemos poner:



Este tiempo será equivalente para el avión y el perdigón, ya que ambos comienzan a moverse en el mismo instante.

Consideraremos ahora las ecuaciones del movimiento para el perdigón.
Al igual que en el caso del avión, cuando el perdigón está en el aire, las fuerzas que actúan sobre él le hacen tomar una aceleración que vendrá dada por la ecuación (1) anteriormente escrita y para la que el segundo término de la derecha vale, como antes igual que en (2).

Como anteriormente, el sistema que escribe la proyección de la ecuación de la aceleración sobre el triedro local es (3).
Para obtener la trayectoria del perdigón, integramos dos veces las ecuaciones obtenidas considerando las condiciones iniciales siguientes:



Según eso, integrando dos veces, podemos poner:


Este sistema de ecuaciones integrales se resuelve, como el anterior, por el método de aproximaciones sucesivas. En una primera aproximación tomamos w = 0, con lo cual



Introduciendo esta primera solución en el sistema nos queda:



Cuando el perdigón hace impacto sobre el avión, sabemos que las coordenadas x e y han de ser iguales para ambos cuerpos y, además, la coordenada z ha de valer h/2 en ambos casos; por lo tanto, igualando y simplificando, podemos formar el sistema:



Que es un sistema lineal de tres ecuaciones con tres incógnitas (cos a, cos b, cos g) que podemos resolver aplicando la regla de Cramer. Su solución es:


Para resolver totalmente el ejercicio se sustituye en cada una de estas expresiones el valor de t calculado anteriormente para obtener de ese modo los cosenos que marcan la dirección de la velocidad inicial del perdigón, v₂, en función de las condiciones iniciales del problema.

FIN

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