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MONOGRAFÍAS TECNICAS

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APUNTES DE FISICA
ELECTROMAGNETISMO

LAS ECUACIONES DEL CAMPO MAGNETOSTÁTICO
LEY DE BIOT Y SAVART
Ah como en electrostática se considera como fundamental la ley de Coulomb, en magnetoestática se tiene la ley de Biot y Savart que establece que la interacción de un circuito (1) jefe sobre otro circuito (2) se puede expresar por la siguiente relación:
    \( \displaystyle \overrightarrow{F}_{12} = \frac{\mu_o}{4·\pi}·I_1I_2 \oint\oint\frac{d\vec{l}_2\wedge \left\{d\vec{l}_1\wedge(\vec{r}_2 - \vec{r}_1)\right\}}{|\vec{r}_2 - \vec{r}_1|^3}\qquad (10) \)
Esto se puede interpretar, siguiendo a Faraday, considerando que el circuito (1) crea un campo magnético y este campo ejerce sobre el circuito (2) la fuerza \( \overrightarrow{F}_{12} \). Según eso, la expresión de esta fuerza será:
    \( \displaystyle\overrightarrow{F}_{12} = I_2\oint_{(2)}d\vec{l}_2\wedge \overrightarrow{B}(\vec{r}_2)\qquad (11) \)
Siendo \( aqui \) el campo producido por el circuito (1) los puntos del circuito (2). En general, \( aqui \) es diferente en los distintos puntos del circuito (2), y según vemos, puede escribirse en la forma:
    \( \displaystyle \overrightarrow{B}(\vec{r}_2) = \frac{\mu_o}{4·\pi}·I_1 \oint_{(1)}\frac{d\vec{l}_1\wedge(\vec{r}_2 - \vec{r}_1)}{|\vec{r}_2 - \vec{r}_1|^3}\qquad (12) \)
Podemos decir entonces que un circuito recorrido por una corriente de intensidad I perturba el espacio que le rodea, produciendo un campo magnético B, cuya expresión en un punto P determinado por el vector de posición \( \vec{r}_2 \) es:
    \( \displaystyle \overrightarrow{B}(\vec{r}_2) = \frac{\mu_o}{4·\pi}·I \oint\frac{d\vec{l}\wedge(\vec{r}_2 - \vec{r}_1)}{|\vec{r}_2 - \vec{r}_1|^3}\qquad (13) \)
Está ecuación es una generalización de la denominada ley de Viot y Savart.
Tiempo de un circuito consideramos el caso más general de un campo espacial de corrientes de densidad \( \overrightarrow{J} \), entonces la ecuación anterior toma la forma:
    \( \displaystyle \overrightarrow{B}(\vec{r}_2) = \frac{\mu_o}{4·\pi} \int\int\int_V\frac{\overrightarrow{J}(\vec{r}_1)\wedge(\vec{r}_2 - \vec{r}_1)}{|\vec{r}_2 - \vec{r}_1|^3}·dV\qquad (14) \)
Donde la integral está extendida a todo en espacio ocupado por las corrientes.
La ecuación anterior es una importante relación entre el campo magnético B producido por un sistema de corrientes, con la densidad \( \overrightarrow{J} \) de estas corrientes, y de ella se llega a la conclusión de que el vector \( \overrightarrow{B} \) es selenoidal, es decir:
    \( \overrightarrow{B} = 0 \qquad (15)\)
Para demostrar esto, tomamos la divergencia de (13) con lo que resulta:
    \( \displaystyle div \; \overrightarrow{B} = \frac{\mu_oI}{4·\pi}\left[\frac{ \vec{r}_2 - \vec{r}_1}{|\vec{r}_2 - \vec{r}_1|^3}·rot(d\vec{l})- d\vec{l}·rot\frac{ \vec{r}_2 - \vec{r}_1}{|\vec{r}_2 - \vec{r}_1|^3}\right] \)
Dónde hemos aplicado la ecuación:
    \( div(\overrightarrow{A}\wedge \overrightarrow{B}) = \overrightarrow{B}·rot\:\overrightarrow{A} -\overrightarrow{A}·rot\:\overrightarrow{B} \)
El primer término de la anterior expresión es nulo ya que \( d\vec{l} \) es un vector constante. Por otro lado, si tiene:
    \( \displaystyle \frac{ \vec{r}_2 - \vec{r}_1}{|\vec{r}_2 - \vec{r}_1|^3}= \nabla \left[ - \frac{ \vec{r}_2 - \vec{r}_1}{|\vec{r}_2 - \vec{r}_1|^3}\right] \)
Por lo que el segundo término contiene el rotacional de un gradiente, qué sabemos que es nulo para cualquier vector. De todo ello se sigue, tal como queríamos:
    \( div \:\overrightarrow{B}(\vec{r}_2) = 0 \)
De este último resultado y aplicando el teorema de la divergencia, se deduce:
    \( \displaystyle \int\int\int_V div \:\overrightarrow{B}·dV = \oint_S \overrightarrow{B}·d\overrightarrow{S} = 0\qquad (16) \)
Por lo que el flujo de \( \overrightarrow{B} \) a través de una superficie cerrada cualquiera es nulo.
Esto significa que no hay polos magnéticos, considerados como fuentes de las líneas magnéticas de \( \overrightarrow{B}\).

El teorema de Ampére

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Página publicada por: José Antonio Hervás