Estás en > Matemáticas y Poesía > Monografías

MONOGRAFÍAS TECNICAS

monografías

APUNTES DE FISICA
ELECTROMAGNETISMO

LAS ECUACIONES DEL CAMPO ELECTROSTÁTICO
LEY DE COULOMB
Las interacciones entre partículas con carga neta distinta de cero vienen dadas por la ley de Coulomb que analiticamente se puede expresar en la forma:
    \( \displaystyle \overrightarrow{F} = \frac{1}{4·\pi \varepsilon_o}·\frac{q_1·q_2}{r^2}·\vec{r}\qquad (4) \)
Estás interacciones son la manifestación de la existencia anterior de un campo electrostático creado por cada partícula con carga eléctrica, incluso en ausencia de las demás.
Teniendo en cuenta el teorema de superposición de fuerzas y considerando distribuciones cúbicas y superficiales de carga, densidades \( \rho(r') \), con \( r' \in V \quad y \quad \sigma (r^{\prime\prime}) \) con \( r^{\prime\prime}\in S \), dónde V y S representan, respectivamente, el volumen y la superficie con carga, la expresión general para el campo electrostático será:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    E = \frac{1}{4·\pi \varepsilon_o}\sum_{i}^{N}\frac{q_i}{r^2_i}·\hat{r}_i + \frac{1}{4·\pi \varepsilon_o}\int_S \frac{\sigma(r^{\prime\prime})·dS}{|r^{\prime\prime} - r|^2} + \\
     \\
    + \frac{1}{4·\pi \varepsilon_o}\int_V \frac{\rho(r^{\prime})·dV}{|r^{\prime} - r|^2} \qquad (5)
    \end{array} \)

Potencial electrostático

Un concepto importante en el estudio del campo es el potencial electrostático, concepto relacionado con el trabajo que hay que realizar para transportar una carga eléctrica de un punto a otro en el campo eléctrico.
Por el cálculo vectorial sabemos que si el rotacional de un vector se anula, vector puede expresarse como el gradiente de un escalar. Campo eléctrico dado por la ecuación (5) satisface este criterio por lo que podemos escribir:

    \( \displaystyle \overrightarrow{E}(\vec{r}) = - grad \; U(\vec{r})\qquad (6) \)
Donde la función escalar \( U(\vec{r}) \) recibe el nombre de potencial electrostático y para el que resulta fácil obtener:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    E = \frac{1}{4·\pi \varepsilon_o}\sum_{i}^{N}\frac{q_i}{r^2_i}·\hat{r}_i + \\
     \\
    +\frac{1}{4·\pi \varepsilon_o}\left[\int_S \frac{\sigma(r^{\prime\prime})·dS}{|r^{\prime\prime} - r|^2} + \int_V \frac{\rho(r^{\prime})·dV}{|r^{\prime} - r|^2}\right] \qquad (7)
    \end{array} \)
Ley de Gauss

Está ley expresa matemáticamente que el flujo del campo electrostático a través de una superficie S cierra un número n de cargas vale:
    \( \displaystyle \oint_S\overrightarrow{E}·\vec{n}·dS = \oint_S\overrightarrow{E}·\overrightarrow{dS}= \frac{1}{\varepsilon_o}\sum_{i}^{N}q_n\qquad (8) \)
Si la carga eléctrica encerrada por la superficie S estuviera distribuida en el espacio con una densidad \( \rho(r^{\prime}) \) entonces la expresión anterior quedaría:
    \( \displaystyle \oint_S\overrightarrow{E}·\overrightarrow{dS}=\frac{1}{\varepsilon_o}\int_V \rho(r^{\prime})dV^{\prime}\qquad (9) \)
Siendo V el volumen limitado por la superficie S.
A la integral de superficie anterior podemos aplicarle el teorema de divergencia con lo que nos quedará:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    \oint_S\overrightarrow{E}·\overrightarrow{dS}=\int_V div \;\overrightarrow{E}·dV^{\;\prime} = \frac{1}{\varepsilon_o}\int_V \rho(r^{\prime})dV^{\prime} \Rightarrow \\
     \\
    \Rightarrow div \overrightarrow{E} = \frac{\rho(r^{\prime})}{\varepsilon_o}
    \end{array} \)
De la última expresión se conoce con el nombre de forma diferencial de la ley de Gauss.

Las ecuaciones del campo magnetostático

¿Te han sido de utilidad estos apuntes sobre electromagnetimo? ¡Recomiénda esta página!

Otros usuarios de Matemáticas y poesía también han visto:




Página publicada por: José Antonio Hervás