Si consideramos
un volumen V encerrado en una superficie S en un sistema electromagnético
cualquiera, la cantidad de carga eléctrica que fluye hacia el exterior
por dicha superficie límite, habrá de ser, en virtud de
este principio de conservación igual a la disminución total
de la misma en dicho volumen; que tengamos:
\( \displaystyle \int_{\Sigma}J·ds = - \frac{\partial}{\partial
t}\int_{V}\rho·dv\qquad (1) \)
Dónde \( J \quad y\quad \rho \) son las densidades de corriente
y volúmica de carga, respectivamente.
Teniendo en cuenta el teorema de la divergencia, la anterior ecuación
se escribe:
\( \displaystyle \int_{V}\nabla J·dv = - \frac{\partial}{\partial
t}\int_{V}\rho·dv\qquad (2) \)
Y puesto que ha de satisfacerse para cualquier volumen V considerado,
tendremos:
\( \displaystyle \nabla J = - \frac{\partial \rho }{\partial t}\qquad
(3) \)
Qué es la expresión diferencial del principio de conservación,
o ecuación de continuidad.
Tiempo de relajación en medios homogéneos.
Consideremos un medio homogéneo e isótropo caracterizado
por una conductividad \( g \) y una permitividad \( \varepsilon_o \),
cargado con una densidad cúbica \( \rho(x,y,z) \). Si este sistema
es bruscamente aislado de los generadores de fuerza electromotriz (f.e.m.)
y de los campos eléctricos dependientes del tiempo, tenderá
hacia un estado de equilibrio por el cual no halla carga eléctrica
en el interior del sistema.
De acuerdo con la ecuación de continuidad tendremos:
\( \displaystyle\frac{\partial \rho }{\partial t} + div\; J =0 \)
Pero sabiendo que la ley de Ohm se puede expresar \( J = g·E\),
nos queda
\( \displaystyle \frac{\partial \rho }{\partial t} +g· div\;
E =0 \)
Podemos recordar ahora la ley de Gauss en forma diferencial que nos relaciona
el campo eléctrico con las fuentes que lo producen, es decir:
\( \displaystyle div\; E =\frac{\rho}{\varepsilon_o} \)
Por lo que tendremos:
\( \displaystyle \frac{\partial \rho }{\partial t} + g·\frac{\rho}{\varepsilon_o}
= 0 \Rightarrow \frac{\partial \rho }{\partial t} + \frac{g}{\varepsilon_o}·\rho
= 0 \)
Está ecuación se puede resolver por separación de
variables para obtener:
\( \displaystyle \begin{array}{l}
\ln \rho + \frac{g}{\varepsilon_o}·t = \ln \rho_o \Rightarrow
\ln \left(\frac{\rho}{\rho_o}\right)= - \frac{g}{\varepsilon_o}·t
\Rightarrow \\
\\
\Rightarrow \rho = \rho_o·\exp\left(- \frac{g·t}{\varepsilon_o}\right)
\end{array} \)
Donde la expresión final nos dice que el mencionado equilibrio
electrostático, consistente en alcanzar una densidad de carga espacial
nula, se alcanza exponencialmente.
La magnitud:
\( \displaystyle \frac{g}{\varepsilon_o} \)
Que nos da el cociente entre la conductividad del medio y sus permitividad,
tiene las dimensiones de un tiempo y se denomina tiempo de relajación,
\( \tau \).
Las ecuaciones del campo electrostático
