Vibraciones y oscilaciones forzadas.- en los problemas anteriores hemos supuesto que el punto mecánico o el sistema eléctrico oscilaban libremente alrededor de su estado de equilibrio, es decir, sin fuerzas o f.e.m. exteriores capaces de sostener o de alterar la obscilación, en el primer caso estudiado (sin resistencia) la energía pasa alternativamente del Estado de energía cinética de movimiento a la energía elástica de deformación. Análogamente ocurriría con un estado en un sistema eléctrico sin resistencia, la energía pasaría alternativamente del campo electrostático del condensador al electromagnético de la bobina. La resistencia introduce una pérdida progresiva de energía en forma de calor (efecto Joule) que acaba por anularla prácticamente.
Según lo anterior, la obscilación es, en los casos reales, un fenómeno transitorio que en ciertos problemas técnicos conviene reducir rápidamente, pero qué, por el contrario (transmisiones de energía, emisiones, etc.) conviene convertir en permanente.
Para conseguir esto último se precisa la aportación exterior de energía en forma de fuerza o f.e.m. oscilante, de modo que las ecuaciones homogéneas vistas anteriormente vendrán modificadas por la aparición de un término armónico que puedes reducirse a la forma \( a·\sin \Omega t \) y representa la acción exterior excitante de la oscilación, que en este caso recibe el nombre de oscilación forzada.
De ese modo, las ecuaciones de la oscilación forzada mecánica o eléctrica serán:

\( \displaystyle \begin{array}{l}
m·y" + r·y' + k·y = a·\sin (\Omega t) \\
 \\
L·u" + R·u' + \frac{1}{C}·u = \frac{U}{C}·\sin (\Omega t)
\end{array}\quad (*) \)

Estas ecuaciones son ahora completas y sus soluciones se obtendrán, como ya sabemos, sumando a la solución general de la homogénea, antes obtenida, la solución particular de la completa.
Para calcular tal solución aplicaremos el método de los coeficientes indeterminados:

\( \displaystyle y_p = A·\sin (\Omega t) + B·\cos (\Omega t) = M·\sin (\Omega t - \psi) \)

Donde:

\( A=M·\cos \psi \; ; \; B=-M·\sin \psi \)

Derivando obtenemos:

\( \displaystyle y' = \Omega·M·\cos (\Omega t - \psi)\; ; \; y" = -\Omega^2·M·\sin (\Omega t - \psi)\)

Y sustituyendo en la primera de las ecuaciones (*):

\(\begin{array}{c}
-m·\Omega^2·M·\sin (\Omega t - \psi) + r·\Omega·M·\cos (\Omega t - \psi) + \\
 \\
\qquad \qquad + k·M·\sin (\Omega t - \psi) = a·\sin (\Omega t)
\end{array} \)

O lo que es igual:

\( M(- m·\Omega^2 + k)·\sin (\Omega t - \psi) + M·r·\Omega·\cos (\Omega t - \psi) = a·\sin (\Omega t) \)

Que también podemos poner en la forma:

\( \begin{array}{c}
M(- m·\Omega^2 + k)\left[\sin (\Omega t)\cos \psi - \cos (\Omega t)\sin \psi\right] + \\
 \\
+ M·r·\Omega·\left[\cos (\Omega t)\cos \psi - \sin (\Omega t)\sin \psi\right]= a·\sin (\Omega t)
\end{array} \)

Anulando el coeficiente de \( \cos (\Omega t) \) en el primer miembro resulta:

\( M(- m·\Omega^2 + k)·\sin \psi + M·r·\Omega·\cos \psi = 0 \)

De donde obtenemos:

\( \displaystyle \frac{\sin \psi}{r·\Omega} = \frac{\cos \psi }{k - m\Omega^2}\; ; \; \tan \psi = \frac{r·\Omega }{k - m\Omega^2}\; ; \; \tan^2 \psi = \frac{r^2·\Omega^2 }{(k - m\Omega^2)^2} \)

Pero de la expresión trigonométrica \( \sin^2 \psi + \cos^2 \psi = 1 \) , dividiendo alternativamente por \( \sin^2 \psi\: y\: \cos^2 \psi \) , obtenemos:

\( \displaystyle \cos \psi = \frac{1}{\sqrt{\tan^2 \psi + 1}}\quad ;\quad \sin \psi = \frac{\tan \psi}{\sqrt{\tan^2 \psi + 1}} \)

Y a partir de ahí:

\( \displaystyle \frac{1}{\sqrt{\tan^2 \psi + 1}} = \frac{k - m·\Omega^2}{\sqrt{r^2\Omega^2 +(k - m·\Omega^2)^2 }} = \cos\psi \)

De dónde resulta fácil obtener:

\( \displaystyle \frac{\cos\psi}{k - m·\Omega^2}= \frac{\sin \psi}{r\Omega} = \frac{1}{\sqrt{r^2\Omega^2 +(k - m·\Omega^2)^2 }} \)

Identificando ahora los términos en \( \sin \Omega t \) nos queda:

\( M\left[(- m\Omega^2 + k)\cos \psi + r\Omega·\sin \psi\right] = a \)

Pero teniendo en cuenta los resultados anteriores, hemos sustituir \( \sin \psi\: y\: \cos \psi \) con lo que resulta:

\( \displaystyle M· \frac{r^2\Omega^2 +(k - m·\Omega^2)^2}{\sqrt{r^2\Omega^2 +(k - m·\Omega^2)^2 }} = a \Rightarrow M = \frac{a}{\sqrt{r^2\Omega^2 +(k - m·\Omega^2)^2 }} \)

Y la solución particular buscada será:

\( \displaystyle y_p = \frac{a}{\sqrt{r^2\Omega^2 +(k - m·\Omega^2)^2 }}·\sin (\Omega t - \psi) \)

Que representa la parte permanente de la oscilación forzada, pues el sumando correspondiente a la solución homogénea que habría que agregarle para tener la integral general, hemos visto que se anula al cabo de un cierto tiempo.
Análogamente, la oscilación permanente tensión en un circuito oscilante excitado por una f.e.m. alterna de valor \( (U/C)·\sin (\Omega t) \) , será:

\( \displaystyle u = \frac{U/C}{\sqrt{R^2\Omega^2 + \left(\displaystyle \frac{1}{C}- L·\Omega^2\right)^2}}·\sin (\Omega t - \psi)\)

Donde:

\( \displaystyle \tan \psi = \frac{R}{\frac{1}{\displaystyle C\Omega}- L·\Omega} \)

Es decir, las oscilaciones forzadas están desfasadas respecto a la f.e.m. exitante según el factor:

\( \displaystyle f = \frac{1}{\sqrt{R^2\Omega^2 + \left(\displaystyle \frac{1}{C}- L·\Omega^2\right)^2}}\)

Caso de resonancia.- si representamos gráficamente f en función \( \Omega \) vemos que para \( \Omega = 0\) , toma el valor 1 y para \( \Omega \Rightarrow \infty \) el valor 0 con un máximo para el valor:

\( \displaystyle\Omega_\max = \sqrt{\frac{1}{C·L}- \frac{R^2}{2L^2}} \)

Que recibe el nombre de pulsación de resonancia y que, pequeños valores de R/L resulta ser muy próxima al valor de w, propia del sistema oscilando libremente.

El valor máximo de f será entonces (sustituyendo \( \Omega \) por su valor máximo y simplificando):

\( \displaystyle f_\max = \frac{1}{\displaystyle C·R\sqrt{\frac{1}{C·L}- \frac{R^2}{4L^2}}} \)

Esta expresión nos hace ver que cuando R es muy pequeño la amplitud de las oscilaciones forzadas en resonancia puede ser muy fuerte, por pequeña que sea la amplitud de la causa excitante.

Casi resonancia. Pulsación. Es interesante comprobar en la ecuación de vibración forzada (*) qué es lo que ocurre cuando r = 0.

La solución particular será en este caso de la forma \( y = M·\sin (\Omega t) \) con lo que la podemos obtener fácilmente \( M = a/(k - m·\Omega^2) \) y la integral general será de la forma:

\( y = A·\sin (\omega t + \varphi) + M·\sin (\Omega t) \)

Ahora bien, \( \omega = \Omega \) , entonces \( \sin (\Omega t) \) es solución de la ecuación homogénea y la integral particular que hay que añadir en este caso es de la forma:

\( y = M·t·\sin (\Omega t) \)

Cuya amplitud de oscilación crece infinitamente con t, confirmando la consecuencia física obtenida en el párrafo anterior.
Ahora bien, es curioso ver el comportamiento de las soluciones cuando \( \Omega \) difiere poco de w. Para fijar las ideas supongamos una solución particular nula t = 0, es decir con \( \varphi = 0\) . Podemos poner:

\( y = A·\sin (\omega t + \varphi) + M·\sin (\Omega t) = A(\sin \omega t + \sin \Omega t) + (M - A)\sin (\Omega t) \)

El primero de los sumandos se puede transformar en la expresión:

\( \displaystyle A(\sin \omega t + \sin \Omega t) = 2·A·\cos \left(\frac{\omega-\Omega}{2}·t\right)\sin\left(\frac{\omega+\Omega}{2}·t\right) \)

En la cual el segundo factor es de pulsación cercana a la de w, y el primero, en cambio, es de frecuencia muy lenta.

Según eso, la gráfica de esta función se corresponde con la última de la página anterior que representa una sinusoide de oscilación rápida con amplitudes variando según otra sinusoide de oscilación lenta.
Este fenómeno se conoce en acústica con el nombre de pulsación batimiento y se produce cuando dos sonidos de frecuencias próximas se emiten simultáneamente excitándose mutuamente sus vibraciones.

Monografía en dos capítulos, segundo capítulo: Vibraciones forzadas. Capítulo primero Vibraciones