Movimiento oscilatorio libre.- Sea un punto material P, de masa m, atraído por un centro de fuerzas O.

Llamando O a la posición de equilibrio del punto, y a la distancia OP, y atribuyendo el signo + al sentido OP para todos los sectores que consideremos (desplazamientos, velocidades, aceleraciones y fuerzas), en cada instante se debe cumplir

\( \displaystyle m\frac{d^2}{dt^2} = - k·y \Rightarrow m·y" + k·y = 0 \)

Donde k es un factor de proporcionalidad positivo que depende del sistema que se estudie.
Sí el movimiento es rectilíneo, la anterior ecuación es suficiente para conocer la naturaleza de las soluciones. Efecto, tenemos una ecuación lineal homogénea para la que podemos hacer:

\( \displaystyle (m·D^2 + k)y = 0 \Rightarrow m·r^2 + k = 0 \Rightarrow r = \pm i \sqrt{\frac{k}{m}}
\)

La cual nos da una solución general de la forma:

\( \displaystyle y = C_1·\sin \omega t + C_2·\cos \omega t\qquad \textrm{ siendo } \omega = \sqrt{\frac{k}{m}} \)

Que también podemos escribir como:

\(y = A·\sin (\omega t + \varphi) \)

Dónde las constantes \( C_1 \; y\; C_2 \) se han sustituido por:

\( \displaystyle A = \sqrt{C_1^2 + C_2^2}\quad ; \quad \varphi = \arctan \left(\frac{C_2}{C_1}\right) \)

Siendo A el valor absoluto de la ordenada máxima de la curva del movimiento y que representa la semiamplitud (en el sentido físico) de la vibración.Recibe el nombre de amplitud.

En cuanto a \( \varphi \) representa el argumento para t = 0. Recibe el nombre de argumento o fase inicial.
Los valores de estas constantes dependerá de las condiciones iniciales del problema, decir, posición inicial de la velocidad inicial que se imprima al punto.
Por ejemplo, si apartamos el punto de su posición de equilibrio a la distancia \( y_o \) (elongación) sin darle velocidad inicial. \( y_o^{\:'}= 0\) (para t = 0) se tendrá:

\( \displaystyle y_o = A·\sin \varphi \; ; \; y_o^{\:'}= \omega·A·\cos \varphi \Rightarrow \varphi = \frac{\pi}{2}\; ;\; A = y_o \)

Y la ecuación queda en la forma:

\( \displaystyle y = y_o·\sin (\omega t + \frac{\pi}{2}) = y_o·\cos \omega t \)

Sí, por el contrario, hacemos \( y_o = 0 ; y_o^{\:'}\neq 0 \) obtendremos:

\( \displaystyle y_o = A·\sin \varphi = 0 \; ; \; y_o^{\:'}= \omega·A·\cos \varphi \Rightarrow \varphi = 0\; ;\; A = \frac{y'_o}{\omega} \)

Y la ecuación resultante será:

\( \displaystyle y = \left(\frac{y_o^{\:'}}{\omega}\right)·\sin \omega t \)

Observamos que el coeficiente de t \( w=\sqrt{k/m} \) , llamado pulsación, es el mismo para todos los movimientos posibles: Solo depende de la masa m del punto y de la constante de proporcionalidad k. Como de este valor depende el periodo, T, y la frecuencia \(\nu =1/T \) :

\( \displaystyle T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}\;;\; \nu = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}} \)

Podemos decir que la frecuencia de las derivaciones es independiente de la elongación y de la velocidad iniciales.
Movimiento oscilatorio con resistencia del medio.- en el planteamiento anterior hemos supuesto que el movimiento se verificaba sin resistencia, es decir, sin pérdida de energía, con lo que hemos obtenido como solución de la ecuación planteada un movimiento periódico sinusoidal de amplitud invariable A. No obstante, ocurre que en la realidad esa amplitud se amortigua con el tiempo. Para poner esto de manifiesto debemos modificar la ecuación anterior expresando que a la fuerza atractiva considerada se agrega una resistencia de signo opuesto a la velocidad \( a \) eso pondremos en valor absoluto proporcional a ella, el segundo miembro de la ecuación anterior un término de la forma \( - r·y' \) (con r positivo) con lo cual se tendrá:

\( \displaystyle m\frac{d^2}{dt^2} = - k·y - r·y'\Rightarrow m·y" +r·y' + k·y = 0 \)

Que es a una ecuación lineal homogénea cuyas soluciones vienen dadas por:

\( \displaystyle m·\alpha^2 + r·\alpha + k = 0 \Rightarrow \alpha = \frac{-r \pm\sqrt{r^2-4·k·m}}{2m} \)

Sí la resistencia fuese tan alta que resultara \( r^2 \geq 4·k·m \) tendríamos \( \alpha_1 < 0 ; \alpha_2 < 0 \) con lo que no habría oscilación y el movimiento sería aperiódico de ecuación:

\( \displaystyle y = C_1·e^{\alpha_1 t} + C_2·e^{\alpha_2 t}\;;\; y = \left(C_1 + t·C_2\right)e^{\alpha t}\quad (si\; \alpha_1=\alpha_2 = \alpha ) \)

En las que y tendería a 0 al crecer t , por ser, \( \alpha_1\; y\; \alpha_2 \) negativas.
Si la resistencia es pequeña comparada fuerzas elásticas y de inercia, se verifica \( r^2 < 4·k·m \) y las raíces de la ecuación característica son complejas de la forma:

\( \displaystyle \alpha_1 = - \frac{r}{2·m}+ i\sqrt{\frac{k}{m} - \frac{r^2}{4m^2}}\quad ; \quad \alpha_2 = - \frac{r}{2·m}- i\sqrt{\frac{k}{m} - \frac{r^2}{4m^2}} \)

Con lo que la solución general se puede poner:

\( \displaystyle y = e^{-\frac{r}{2m}t}\left(C_1·\cos \omega t + C_2·\sin \omega t\right) \quad ; \quad \textrm{ siendo } \omega = \sqrt{\frac{k}{m} - \frac{r^2}{4m^2}}
\)

O haciendo como antes:

\( \displaystyle y = e^{-\frac{r}{2m}t}·A·\sin(\omega t + \varphi) \)

Expresión que podemos interpretar como una función senoidal de amplitud variable decreciente

\( A·e^{-\frac{r}{2m}t} \)

Es decir, que se representará por una senoidal deformada de tal manera que sus oscilaciones se hallen comprendidas entre la curva exponencial

\( y = A·e^{-\frac{r}{2m}t} \)

y su simétrica.

La rapidez de crecimiento de estas oscilaciones depende del valor de r/2m, llamado factor de amortiguamiento. Si su valor es elevado, el amortiguamiento es muy rápido por la rapidez de decrecimiento de la función exponencial.
La pulsación, w, esa hora más pequeña en el caso anterior, cómo se puede observar por las expresiones que la definen. Como consecuencia podemos decir que la resistencia hace disminuir la frecuencia \( (\omega/2\pi) \) y aumentar el periodo.
La determinación de las constantes de integración dadas por las condiciones iniciales \( y_o \; e\; y_o^{\:'} \) tampoco presenta en este caso dificultad.
Oscilaciones en circuitos eléctricos - vamos a ver ahora que la descarga de un condensador a través de un circuito produce en él variaciones de carga que obedecen a una ecuación diferencial análoga a las últimas que hemos considerado. Sea un condensador de capacidad, C, que supondremos inicialmente cargado, conectado en un momento dado con el circuito de resistencia R y autoinducción L.

Como sabemos, la intensidad en todo momento es, en valor absoluto, el cociente entre la cantidad de electricidad dQ que fluye en el circuito durante el tiempo dt y el valor de ese intervalo. Si tomamos dQ como variación de carga del condensador, habrá que poner que poner:

\( \displaystyle I = - \frac{dQ}{dt} \)

Para que I resulte positiva en el sentido de la descarga. Además, la carga de todo condensador de capacidad C está ligada a la diferencia de potencial V por la expresión Q = C·V.
Según todo lo anterior tendremos los valores:

\( \displaystyle V = \frac{Q}{C}\quad ; \quad I = - \frac{dQ}{dt} \quad ; \quad \frac{dI}{dt} = - \frac{d^2Q}{dt^2} \)

Por otro lado, sabemos que toda variación de intensidad supone la variación del campo magnético y, por tanto, la aparición de una fuerza electromotriz llamada de autoinducción que se opone a dicha variación que es proporcional a ella, es decir:

\( \displaystyle -L·\left(\frac{dI}{dt}\right) \)

La fuerza electromotriz disponible en todo instante para vencer la resistencia R será, pues,

\( \displaystyle V -L·\left(\frac{dI}{dt}\right)\)

Y, en virtud de la ley de Ohm podemos poner:

\( \displaystyle V - L·\frac{dI}{dt}= R·I \Rightarrow - L·\frac{dI}{dt}- R·I + V = 0 \)

Y expresando en función de la carga:

\( \displaystyle L·\frac{d^2Q}{dt^2} + R·\frac{dQ}{dt} + \frac{Q}{C} = 0 \Rightarrow L·Q" + R·Q' + \frac{Q}{C} = 0 \)

Expresiones análogas regularán las variaciones de la diferencia de potencial y las variaciones de la intensidad:

\( \displaystyle \begin{array}{l}
L·C·\frac{d^2V}{dt^2} + R·C·\frac{dV}{dt} + V = 0 \Rightarrow L·V^{\,"} + R·V^{\,'} + \frac{1}{C}·V = 0 \\
 \\
L·\frac{d^3Q}{dt^3} + R·\frac{d^2Q}{dt^2} + \frac{1}{C}·\frac{dQ}{dt} = 0 \Rightarrow L·\frac{d^2I}{dt^2} + R·\frac{dI}{dt} + \frac{I}{C} = 0
\end{array} \)

Si el circuito cumple \( R^2 \geq 4(L/C) \) , la descarga no es oscilante sino a periódica como la del primer caso del párrafo anterior.
Sí, por el contrario, si tiene \( R^2 < 4(L/C) \) la descarga es oscilante y las oscilaciones de la carga, intensidad y diferencia de potencial son amortiguadas según las leyes de la forma:

\( \displaystyle y = e^{-\frac{r}{2m}t}·\sin(\omega t + \varphi) \quad ; \quad \textrm{ siendo } \omega = \sqrt{\frac{1}{C·L} - \frac{R^2}{4L^2}}
\)

Si (L/R) es pequeño (resistencia óhmica despreciable frente a la autoinducción) como ocurre en los circuitos bobinados de radio, podemos tomar muy aproximadamente \( \omega = 1/\sqrt{C·L} \) , con lo que la frecuencia de un circuito oscilante de estas características será:

\( \displaystyle \nu = \frac{1}{2\pi\sqrt{C·L}} \)

Monografía en dos capítulos, primer capítulo: Vibraciones. Capítulo dos y final Oscilaciones forzadas