ESTUDIO DE UN SISTEMA CUÁNTICO CON DOS POSIBLES ESTADOS LINEALMENTE INDEPENDIENTES.

RESUMEN

En la presente monografía desarrollamos el estudio algunas características de un sistema cuántico formado por sólo dos posibles estados linealmente independientes.

INTRODUCCIÓN

Vamos a suponer, según lo dicho, un sistema cuántico en el que sólo existen dos posibles estados linealmente independientes; es decir, aquel para el que cualquier función de onda que representa su estado en un instante determinado viene dado por la combinación lineal de dos estados de una base arbitraria,\(\psi_1 \; y \; \psi_2\)

\(\psi = C_1\psi_1 + C_2 \psi_2 \qquad (1)\)

Y determinar en él las siguientes cuestiones:

Haciendo uso de las propiedades del producto escalar de funciones, demostraremos que la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo del sistema puede ser reducida a la ecuación matricial:


\(\displaystyle \left( \begin{array}{cc} H_{11} & H_{12} \\ H_{21} & H_{22} \\ \end{array} \right)\left( \begin{array}{c} C_1 \\ C_2 \\ \end{array} \right) = i·\hbar \frac{d}{dt}\left( \begin{array}{c} C_1 \\ C_2 \\ \end{array} \right) \)

Donde \( H_{ji} = (\psi_j , \hat{H}\psi_i) \quad (2)\)
Explicaremos porqué podemos suponer que H₁₂ = H₂₁ y el significado físico de los términos H₁₁ y H₂₂ y buscaremos soluciones de la forma:


\( C_1= a· e^{-iwt} \; ; \; C_2= b· e^{-iwt} \qquad(3)\)

Indicando el proceso matemático para hallarlas, aunque sin resolver las ecuaciones.

Resolveremos las ecuaciones y obtendremos las soluciones buscadas para el caso en que H₁₁ = H₂₂.

Obtendremos en este último caso la expresión matemática de las funciones de onda correspondientes a los estados estacionarios del sistema en función de \(\psi_1 \; y \; \psi_2\) e indicaremos cuales son las energías de esos estados estacionarios.

Suponiendo que en un instante inicial el sistema se encuentra en el estado dado por ψ₁(C₁ = 1 ; C₂ = 0) trataremos de encontrar la expresión matemática para la función de onda que describe el estado del sistema en un instante posterior t y encontraremos una expresión para los valores de \(|C_1|^2 \; y \; |C_2|^2\) en ese instante posterior t.

Explicaremos porqué se puede considerar que H₁₂ representa la posibilidad de paso entre los estados \(\psi_1 \; y \; \psi_2\), indicando cualitativamente la evolución del sistema a lo largo del tiempo.

DESARROLLO

Si la función de onda, ψ se puede poner como combinación lineal de \(\psi_1 \; y \; \psi_2\), entonces, en un determinado instante inicial y en un instante posterior t, tendremos:

\(\ \psi(x,0)= C_1\psi_1 + C_2\psi_2\; ; \; \psi(x,t)= C_1(t)\psi_1(x) + C_2(t)\psi_2(x)\)

De tal forma que la evolución de ψ con el tiempo viene expresada por los valores C₁(t) y C₂(t).

Para llegar a la ecuación matricial (2) hacemos los productos escalares:

\((\psi_i , \hat{H}·\psi)\)

Con \(i = 1,2 \; y \; \hat{H} = i\hbar (\partial/\partial t)\)
O, lo que es igual:

\(\displaystyle i\hbar \left(\psi_i ,\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) \)

Teniendo en cuenta la linealidad de H y la ecuación (1) resultará:

\(\displaystyle \begin{array}{l}
(\psi_i , C_1\hat{H}\psi_1 +C_2\hat{H}\psi_2 )= i\hbar\left(\psi_i,\psi_1\frac{d}{dt}C_1 + \psi_2\frac{d}{dt}C_2 \right)=\\
\\
\imath\hbar \left[(\psi_i,\psi_1)\frac{d}{dt}(C_1) +(\psi_i,\psi_2)\frac{d}{dt}(C_2) \right]
\end{array} \)

Si suponemos \(\psi_1 \; y \; \psi_2\) que son ortogonales, tendremos:

\(\displaystyle C_1(\psi_i , \hat{H}\psi_1)+ C_2(\psi_i , \hat{H}\psi_2)= \imath\hbar \frac{d}{dt}(C_i)\quad (i = 1,2) \)

Poniendo ahora ,\( H_{ji} = (\psi_j , \hat{H}\psi_i)\) la expresión anterior toma la forma:

\(\displaystyle C_1·H_{i1} + C_2·H_{i2}= \imath\hbar \frac{d}{dt}(C_i)\quad (i = 1,2) \)

Que escrita en forma matricial es la expresión (2) y en forma de operadores:

\(\displaystyle \hat{H}·\vec{C}= \imath\hbar \frac{d}{dt}(\vec{C})\)

La suposición de considerar \(\psi_1 \; y \; \psi_2\) ortogonales no constituye ninguna pérdida de generalidad, puesto que al ser linealmente independientes e integrables, siempre podemos aplicar cualquier método de ortogonalización que nos conduzca a otros dos estados ortonormales si, en un principio,\(\psi_1 \; y \; \psi_2\) no lo son.

En principio, tan sólo podemos deducir que \( H_{12}= H_{21}^*\) , ya que, al ser H un operador hermítico, tendremos:

\(H_{12}= (\psi_1, \hat{H}\psi_2) =(\hat{H}\psi_1, \psi_2)= (\psi_2, \hat{H}\psi_1)^* = H_{21}^*\)

Y suponer que H₁₂ = H₂₁ equivale a suponer que sus valores son reales, lo cual equivale, a su vez, a considerar que \(\psi_1 \; y \; \psi_2\) son reales. Podemos considerar, por tanto, que se tiene H₁₂ = H₂₁ sin perder apenas generalidad, pues coinciden en valor absoluto y diferirán con mucho en la fase.

Por otra parte, por ser el operador H hermítico, su matriz asociada (H_ij) será hermítica y, por lo tanto, H₁₁ y H₂₂ serán valores reales.

Por definición de los términos H_ij, tenemos que H_ii es

\(H_{ii}= (\psi_i, \hat{H}\psi_i) = \bar{H}_i = \bar{E}_i \Rightarrow H_{ii}=\bar{E}_i\)

Por lo que H₁₁ y H₂₂ representan los valores esperados de la energía o las energías medias de los estados \(\psi_1 \; y \; \psi_2\), respectivamente. (El hecho de que sean energías medias se debe a que \(\psi_1 \; y \; \psi_2\), en principio, no tienen porqué representar unos estados estacionarios).

Las soluciones de la ecuación matricial (2) pueden ser de la forma dada en (3). Para verificar que ello es así, se introducen en la ecuación matricial dichos valores. Desarrollando se obtiene una ecuación de valores propios, E, para la matriz (H_ij), con \(E = \hbar \omega\) . Resolviendo la ecuación se obtienen unos valores propios que son, precisamente, las energías de los estados estacionarios. Una vez hallados estos autovalores, se calculan sus respectivos vectores propios, cuyas componentes no van a ser más que las componentes de los estados estacionarios en la base antigua, \(\psi_1 \; y \; \psi_2\). Si la matriz (H_ij) es no degenerada, se obtendrán, en principio, dos valores propios.

Las funciones de onda asociadas a cada vector propio son de la forma:

\(\displaystyle \begin{array}{l} \varphi_E(x,t) = C_1^E(t)\psi_1(x) + C_2^E(t)\psi_2(x)=\\ \\ e^{-iwt}\left[C_{10}^E(t)\psi_1(x) + C_{20}^E(t)\psi_2(x)\right] = \varphi_E(x)·e^{-iEt/\hbar} \end{array} \)

Que, efectivamente, son estados estacionarios cuya función o parte espacial en función de \(\psi_1 \; y \; \psi_2\) es:

\(\varphi_E(x) =C_{10}^E(t)\psi_1(x) + C_{20}^E(t)\psi_2(x)\)

Para resolver las ecuaciones, aplicamos lo dicho anteriormente. Introduciendo los valores dados por (3) en la ecuación (2):

\(\displaystyle \begin{array}{l}
\left( \begin{array}{cc} H_{11} & H_{12} \\ H_{21} & H_{22} \\ \end{array} \right)\left( \begin{array}{c} a \\ b \\ \end{array} \right)e^{iwt} = i·\hbar \left( \begin{array}{c} a \\ b \\ \end{array} \right) \frac{d}{dt}(e^{-iwt})= \hbar w \left( \begin{array}{c} a \\ b \\ \end{array} \right) e^{-iwt} \Rightarrow\\
\\
(H_{ij})\left( \begin{array}{c} a \\ b \\ \end{array} \right)= \hbar w \left( \begin{array}{c} a \\ b \\ \end{array} \right) \Rightarrow
(H_{ij})\left( \begin{array}{c} a \\ b \\ \end{array} \right)= E \left( \begin{array}{c} a \\ b \\ \end{array} \right)\quad \textrm{por ser } E = \hbar w \end{array} \)

Que es una ecuación de valores propios. Calculamos los valores propios de la matriz (Hij) que, por ser hermítica, serán valores reales. Para simplificar cálculos, tomemos: H₁₁ = H₂₂ = E_o ; H₁₂ = H₂₁ = h. De ese modo:

\(\displaystyle \left| \begin{array}{cc} E_o-\lambda & h \\ h & E_o-\lambda \\ \end{array} \right| = 0 \Leftrightarrow (E_o - \lambda)^2 - h^2 = 0 \Rightarrow \lambda = E_o \pm h \)

Como puede verse por el resultad obtenido, los dos estados estacionarios no son degenerados.
A cada valor propio obtenido le corresponde un vector propio. Sustituyendo valores obtenemos sin dificultad los vectores propios: v₁ = (1, 1) ; v₂ = (1, -1) y los estados estacionarios vendrán dados por:

\(\displaystyle \begin{array}{c} \varphi_{E_1} = \psi_1 + \psi_2 \; ; \; \textrm{con } E_1 = E_o + h \\ \\ \varphi_{E_2} = \psi_1 - \psi_2 \; ; \; \textrm{con } E_2 = E_o - h \end{array} \)

Donde para ortonormalizarlos nos basta con multiplicar cada uno de ellos por el inverso de la raíz cuadrada de dos. Cualquier otra función de onda podrá ser descrita también en esta nueva base.

Cualquier estado podrá venir dado en función de cualquiera de las dos bases. Así:

\(\displaystyle \psi(x,t) = \sum_{i=1,2}C_{E_i}\varphi_{E_i}(x)·e^{-iE_it/\hbar} = C_1(t)\psi_1(x) + C_2(t)\psi_2(x) \)

Donde CE son las componentes de la función de onda en la base formada por los estados estacionarios. Si \(\psi(x,t=0) = \psi_1\) se tiene:

\(\psi(x,0) = \psi_1 = C_{E_1}\varphi_{E_1}(x)+ C_{E_2}\varphi_{E_2}(x)= C_{E_1}(\psi_1+\psi_2)+ C_{E_2}(\psi_1-\psi_2)\)

De donde resulta que ambos coeficientes valen ½. Determinados los coeficientes y sustituidos en la expresión que da la función de onda, podemos poner:

\(\displaystyle \psi(x,t) = \frac{1}{2}\varphi_{E_1}(x)e^{-iE_1t/\hbar} + \frac{1}{2}\varphi_{E_2}(x)e^{-iE_2t/\hbar} \)

Podemos determinar los coeficientes C₁(t) y C₂(t) a partir de la relación entre las dos bases:

\(\displaystyle \psi(x,t) = \frac{1}{2}\varphi_{E_1}(x)e^{-iE_1t/\hbar} + \frac{1}{2}\varphi_{E_2}(x)e^{-iE_2t/\hbar} = C_1(t) \psi_1 + C_2(t) \psi_2 \)

Y desarrollando:

\(\displaystyle\begin{array}{l}
C_1(t) = \frac{1}{2}\left(e^{-iE_1t/\hbar} +e^{-iE_2t/\hbar}\right)\\
\\
C_2(t) = \frac{1}{2}\left(e^{-iE_1t/\hbar} -e^{-iE_2t/\hbar}\right)
\end{array} \)

Los módulos de estas dos expresiones son:

\(\displaystyle \begin{array}{l} |C_1(t)|^2 = C_1(t)·C_1^*(t) = \frac{1}{2}\left(e^{-iE_1t/\hbar} +e^{-iE_2t/\hbar}\right)\frac{1}{2}\left(e^{iE_1t/\hbar} +e^{iE_2t/\hbar}\right)= \\ \\ = \frac{1}{4}\left( 1 +e^{-i(E_1-E_2)t/\hbar}+ e^{i(E_1-E_2)t/\hbar} +1 \right) = \left(1 + \cos \frac{E_1 - E_2}{\hbar}t \right) \end{array} \)

Y, análogamente:

\(\displaystyle \begin{array}{l} |C_2(t)|^2 = C_2(t)·C_2^*(t) = \frac{1}{2}\left(e^{-iE_1t/\hbar} -e^{-iE_2t/\hbar}\right)\frac{1}{2}\left(e^{iE_1t/\hbar} -e^{iE_2t/\hbar}\right)= \\ \\ = \frac{1}{4}\left( 1 -e^{-i(E_1-E_2)t/\hbar}- e^{i(E_1-E_2)t/\hbar} +1 \right) = \left(1 - \cos \frac{E_1 - E_2}{\hbar}t \right) \end{array} \)

Donde, como era de esperar, se cumple:

\(\displaystyle \sum_i|C_i|^2 = 1 \)

Si en las expresiones obtenidas para \(|C_1|^2 \; y \; |C_2|^2\) ponemos \((E_1 - E_2)/\hbar\) y tenemos en cuenta que E₁ = E_o + h y E₂ = E_o – h, siendo h = H₁₂, podemos definir un periodo por:

\(\displaystyle T = \frac{2\pi}{\omega} \Rightarrow T = \frac{\hbar}{2H_{12}}\quad (4) \)

Y escribir:

\(\displaystyle |C_1(t)|^2 =\frac{1}{2} (1 + \cos w·t) \; ; \;|C_2(t)|^2 =\frac{1}{2} (1 - \cos w·t) \)

En t = 0 tenemos que C₁ = 1 y C₂ = 0 y el sistema está en el estado ψ₁ . Para t = π/2 , resulta C₁ = 0 y C₂ = 1 y el sistema se encuentra en el estado ψ₂ . Por consiguiente, el estado ψ(x,t) oscila entre los estados \(\psi_1 \; y \; \psi_2\) con un periodo temporal dado por (4) de tal modo que, cuanto más pequeño sea el valor de H₁₂ más grande será el periodo de las oscilaciones y cuanto mayor sea H₁₂ más lenta será la variación. Esto nos lleva a interpretar H₁₂ como una probabilidad de paso en el tiempo entre los estados \(\psi_1 \; y \; \psi_2\).

Por otra parte, \(|C_i|^2\) representan las probabilidades de que ψ(x, t) se encuentre en el estado base ψ_i en el instante t. Podemos poner entonces:

\(\displaystyle P_1 =\frac{1}{2} (1 + \cos w·t) \; ; \;P_2 =\frac{1}{2} (1 - \cos w·t) \; ; \; P_T = P_1 + P_2 \)

Oscilando cada probabilidad entre 0 y 1.

Esta situación es análoga a la de dos péndulos débilmente acoplados: si uno de ellos se aparta de su posición de equilibrio, empieza a oscilar y esta oscilación se va comunicando gradualmente al otro péndulo hasta que el primero deja de oscilar, invirtiéndose el proceso. Existe, por tanto, un intercambio constante de energía entre ambos péndulos. La velocidad con que se intercambia la energía depende del grado de acoplamiento entre ambos péndulos. En este caso existen dos movimientos especiales o “modos”, cada uno con una frecuencia definida; el primero se obtiene apartando los dos péndulos a la vez y en el mismo sentido, de la posición de equilibrio, y el segundo apartándolos en sentido contrario.

En nuestro caso, los dos “modos” vibracionales son\((\psi_1 + \psi_2) \; y \; (\psi_1 - \psi_2)\) siendo \((E_o+h)/\hbar \; y \; (E_o-h)/\hbar\) sus frecuencias respectivas. H₁₂ es, por tanto, el término de acoplamiento entre ambos estados \(\psi_1 \; y \; \psi_2\) y los estados estacionarios son aquellos para los que el término de acoplamiento es nulo.

El término de acoplamiento es el que hace que la energía no sea simplemente E_o= H₁₁ = H₂₂, sino que haya dos niveles con energías E_o + h y E_o – h, respectivamente.